Группа кватернионов Q8

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Рассмотрим группу $GL_2(\mathbb{Q})$ и группу кватернионов $Q_8$. Нашу группу кватернионов можно рассматривать как $Q_8 = \lbrace a, b : \ a^4 = 1, \ a^2 = b^2, \ a^{-1} = b^{-1} a b \rbrace$ (или $Q_8 = \lbrace 1, \ a, \ a^2, \ a^3, \ b, \ ab, \ a^2 b, \ a^3 b | \ a^4 = 1, \ a^2 = b^2, \ b a = a^3 b \rbrace$). Мне нужно показать, что $Q_8$ не является конечной подгруппой группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Мне бы подсказку как начать . Я даже не знаю какую свою идею предложить. Может как-то через представление группы $Q_8$. Заранее, спасибо.

[ИСН]

Когда не знаешь, надо тыкать во все кнопки и дёргать за все рычаги - и обязательно полетишь.
Я тоже не знаю. Ну ладно, а что можно сделать? Вот корни 4-й степени из 1. В кватернионах понятно (понятно ли?), сколько их и кто они. А в матрицах? Как думаете?

[3.14]

В кватернионах : $1, \ i, \ j, \ k$, и там еще правила их умножения. Вот если бы поле было бы $\mathbb{C}$, то и матрицы можно написать. А вот в $\mathbb{Q}$ как-то не удается сходу..

-- 22 янв 2015, 18:30 --

А может взять прям и обозначить две матрицы $x, \ y \in GL_2(\mathbb{Q})$:

$$ x = \begin{pmatrix} a_x & b_x \\ c_x & d_x \end{pmatrix} \qquad y = \begin{pmatrix} a_y & b_y \\ c_y & d_y \end{pmatrix} $$

По определению : $x^4 = 1, \ x^2 = y^2, \ x^{-1} = y^{-1} x y$. Получаться какие-то соотношения на коэффициенты матриц. Как-нибудь из этого может выйти?

[ИСН]

Может (наверное). Но я бы двигался тем путём, на который указал в предыдущем сообщении.

-- менее минуты назад --

3.14 в сообщении #966745 писал(а):

Вот если бы поле было бы $\mathbb{C}$, то и матрицы можно написать.

Дак и напишите! Просто будем иметь в виду, что "вот это должно быть из $\mathbb Q$", и всё.

[3.14]

Так..Ну вот матрицы

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

такие, что $A^4 = 1$ могут быть очень разными. Например все такие матрицы :
1.

$$ \begin{pmatrix} \xi_4 & 0 \\ 0 & \xi_4 \end{pmatrix}, $$

где $\xi_4$ - корни 4-й степени из единицы.
Там еще куча случаев. В принципе, их можно рассмотреть. Просто не до конца понятно к чему идем К противоречию какому-нибудь ? )

[ИСН]

Мне тоже неясно. Я пытаюсь проиллюстрировать метод мышления, состоящий в том, что когда неясно, то надо выяснять путём случайных движений. Ну ладно, а если мы ограничимся действительнозначными матрицами?

[3.14]

Еще могут быть такие матрицы $(b \neq 0)$:

$$ \begin{pmatrix} 0 & b \\ \frac{1}{b} & 0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 0 & b \\ -\frac{1}{b} & 0 \end{pmatrix} $$

-- 22 янв 2015, 20:29 --

Вот я тут поискал. Наткнулся на такой сайт : http://math.stackexchange.com/questions ... as-a-group
Вам там что-нибудь понятно ?

[lek]

3.14, попробуйте подойти иначе. Если $Q_{8}\subset GL_{2}(Q)\subset GL_{2}(\mathbb{R})$, то ... алгебра $\mathbb{H}\subset M_{2\times2}(\mathbb R)$. Но алгебра кватернионов не представима вещественными матрицами размера $2\times2$, поскольку ...

[3.14]

lek, я немного не понял ) просто не силен в этих алгебрах и представлениях. Сейчас освежу память

-- 22 янв 2015, 23:55 --

Я увидел, что на вещественным полем алгебра кватернионов представляется матрицами размера $4 \times 4$. А вот почему нельзя матрицами размера 2, я пока не понял. Кстати, а вот если рассмотреть матрицу

$$ x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. $$

Заметим, что $x^4 = 1$. Далее, должна быть матрица $y$ такая, что $x^2 = y^2$ и $x^{-1} = y^{-1} x y$. Обозначим

$$ y = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. $$

Учитывая наши равенства, постоянно приходим к противоречию с тем, что $a, b, c, d \in \mathbb{Q}$. Значит такой матрицы $y \in GL_2(\mathbb{Q})$ нет. Отсюда, видно, что $Q_8$ не лежит в $GL_2(\mathbb{Q})$. Смущает только то, что матрицу мы сами взяли такую, но, вроде, в определении можно брать любую порядка 4. Вот взяли любую и получили противоречие.

-- 23 янв 2015, 00:11 --

$\mathbb{H}$ двумерная алгебра над $\mathbb{C}$. Значит над $\mathbb{R}$ она должна быть 4-х мерной. Так, вроде...

[lek]

3.14 в сообщении #966878 писал(а):

А вот почему нельзя матрицами размера 2, я пока не понял.

Это можно легко показать. Во-первых,

3.14 в сообщении #966878 писал(а):

$\mathbb{H}$ двумерная алгебра над $\mathbb{C}$. Значит над $\mathbb{R}$ она должна быть 4-х мерной.

Потому из включения $\mathbb{H}\subset M_{2\times2}(\mathbb{R})$ следует равенство этих алгебр (они имеют одинаковую размерность над $\mathbb{R}$). Во-вторых, алгебра $\mathbb{H}$ является алгеброй с делением. Поэтому из равенства $ab=0$ в $\mathbb{H}$ должно следовать $a=0$ или $b=0$. Постройте контрпример в $M_{2\times2}(\mathbb{R})$ и тем самым докажете отсутствие такого представления.

[3.14]

lek, спасибо. Я попробую построить контрпример )

-- 23 янв 2015, 01:39 --

То есть если рассмотреть две матрицы :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

То всё будет доказано, так как

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

А можно еще раз. Так как мы предположили, что $Q_8 \subset GL_2(\mathbb{Q}) \subset GL_2(\mathbb{R})$, то алгебра кватернионов $\mathbb{H} \subset Mat_{2\times 2}(\mathbb{R})$ (вот это я не совсем понял, ибо не помню как группы и алгебры взаимодействуют). Дальше, потом мы как-то поняли, что верно и обратное включение(вот это не совсем понял), значит они раны, но $\mathbb{H}$ с делением, а $Mat_{2\times 2}(\mathbb{R})$ нет, есть контрпример.