Окрестности рациональных чисел

[Padawan]

Хотел задать в "Помогите решить\разобраться", но сам решил. Поэтому размещу здесь как задачу

Занумеруем каким-нибудь способом все рациональные числа $(x_i)_{i=1}^\infty$. Возьмём какую-нибудь последовательность положительных чисел $(r_i)_{i=1}^\infty$. Если теперь взять объединение $A=\bigcup_{i=1}^\infty U(x_i,r_i)$, где $U(x,r)=(x-r,x+r)$ - окрестность точки, то это объединение будет больше, чем множество всех рациональных чисел $\mathbb Q$, но если радиусы $r_i$ малы и быстро убывают, то $A$ почти совпадает с $\mathbb Q$.

Внимание вопрос: Можно ли подобрать такую серию последовательностей $(r_i^{(k)})$, $k=1,2,...$, что для соответствующих множеств $A_k=\bigcup_{i=1}^\infty U(x_i,r_i^{(k)})$ будет выполнено $\bigcap_{k=1}^\infty A_k=\mathbb Q$ ?

[grizzly]

Нельзя. Было недавно -- я этот урок надолго запомнил :)