Произведение отображений, обратное отображение

[Kras]

Отображением из множества $A$ в множество $B$ называется подмножество $\alpha$ множества $A\times B$ со следующим свойством: для любого $x\in A$ существует, и притом только одно, $y\in B$ такое, что $(x,y)\in \alpha$.

Необходимо придумать такое же "теоретико-множественное" определение для произведения отображений. Допустим $g:X\to Y$ и $f:Y\to Z$, ясно что $fg\subset X\times Z$. Но на это подмножество надо наложить какое-то дополнительное условие. Как сформулировать это условие?

[Brukvalub]

Нужно красиво рассказать "про среднюю точку" в $Y$, через которую вы пробегаете из $X$ в $Z$.

[Kras]

$\forall (x,y)\in g \exists! (y,z)\in f: (x,z)\in fg$
так сойдет?

[Brukvalub]

Может, лучше начать со слов: Отображение...называется произведением отображений..и.., если....

[Kras]

Отображение $fg:X\to Z$ называется произведением отображений $g:X\to Y$ и $f:Y\to Z$, если оно определяется правилом $fg(x)=f(g(x)), \forall x \in X$.

А мне надо "теоретико-множественное" определение...

[provincialka]

У вас после $\exists !$ стоит пара $(y,z)$. В смысле, что она единственная?

[Kras]

она единственная

[arseniiv]

Kras в сообщении #966395 писал(а):

А мне надо "теоретико-множественное" определение...

Композиция отношений же. Знаете бинарные отношения?

[provincialka]

Собственно, единственность здесь требовать ни к чему: она и так получится, если исходные отношения - отображения. Достаточно существования $y$.

[Kras]

Цитата:

Композиция отношений же. Знаете бинарные отношения?

Это вообще к чему?

provincialka
А что здесь требовать? Я запутался совсем.

[provincialka]

Вот существование подходящего $y$ и требовать. Как сказал arseniiv, достаточно построить композицию отношений, а уж отображением она и так окажется.

[Kras]

А чем отображение отличается от бинарного отношения? Получается, только требованием единственности

Цитата:

только одно, $y\in B$ такое, что $(x,y)\in \alpha$

В то время как бинарное отношение - это вообще любое подмножество. Вообще какое угодно. Верно?

[AV_77]

Еще "для каждого $x \in A$ ...". А так отображение - частный случай отношения.

[Kras]

Тогда вот, на сайте нашёл

Цитата:

Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений (англ. composition of binary relations) $R\subseteq A\times B$ и $S\subseteq B\times C$ называется такое отношение $(R \circ S) \subseteq A\times C$, что: $\forall a \in A, c \in C : a (R \circ S) c \iff \exists b \in B : (a R b) \wedge (b S c)$.

Теперь для каждого $a$ найдется единственное $b$, для каждого $b$ найдется единственное $c$. Значит из того, что $R$ и $S$ - отображения, следует, что $(R \circ S)$ - тоже отображение.

[arseniiv]

(Кстати, как вы здесь можете видеть, порядок композиции для отношений традиционно обратный порядку композиции функций — это делают просто для удобства.)