Re:целых числах

[ph11]

Найдите все целые числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $x^4 - 2y^2=1$

[Dan B-Yallay]

ph11 в сообщении #965846 писал(а):

Найдите все целые числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $x^4 - 2y^2=1$

Не буду.
Во 1-ых ветка не та.
Во 2-х "приведите собственные попытки решения".
В 3-х: волшебного слова не наблюдается.

[Sonic86]

(Dan B-Yallay)

Dan B-Yallay в сообщении #965876 писал(а):

Во 2-х "приведите собственные попытки решения".

Думаете, это легкая задача?

[Dan B-Yallay]

(Sonic86)

Честно говоря, не вникал. Дискретка/теория чисел никогда не были моим коньком.
Но сам требовательный тон позиционирует сообщение как задачу, а не желание обсудить сложную проблему.

[provincialka]

(Оффтоп)

Непонятки возникают из-за раздела. Если эту задачу ТС знает, и предлагает нам побаловаться, решить -- значит в "Олимпиадные задачи". Если не знает и просит помощи -- в ПРР. Пусть уж определится.

[Andrey A]

ph11 в сообщении #965846 писал(а):

Найдите все целые числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $x^4 - 2y^2=1$

Всё-таки ПРР. Последовательность $X_n$ решений уравнения $X^2-2Y^2$ - числа вида $(2k)^2\pm 1$ и не могут быть целым квадратом за исключением тривиального. При чем $k_n$ - тоже знакомая последовательность.

[ex-math]

Andrey A в сообщении #965942 писал(а):

Последовательность $X_n$ решений уравнения $X^2-2Y^2$ - числа вида $(2k)^2\pm 1$

Можно подробнее, откуда это следует?

[nnosipov]

ex-math в сообщении #966098 писал(а):

Можно подробнее, откуда это следует?

Это можно вывести из явной формулы: $X=(\varepsilon_+^n+\varepsilon_-^n)/2$, где $\varepsilon_\pm=3 \pm 2\sqrt{2}$. В данном случае $\varepsilon_\pm=\xi_{\pm}^2$, где $\xi_\pm=1 \pm \sqrt{2}$. Значит, $X=((\xi_+^n-\xi_-^n)/\sqrt{2})^2+(-1)^n$, при этом число $(\xi_+^n-\xi_-^n)/\sqrt{2}$ --- целое.

Или, совсем просто, переписать уравнение в виде $(X-1)/2 \cdot (X+1)/2=2(Y/2)^2$, откуда одно из чисел $(X \pm 1)/2$ есть удвоенный точный квадрат и, как следствие, одно из чисел $X \pm 1$ --- точный квадрат.

Вообще, задача интересная, она когда-то предлагалась на Московской олимпиаде. Есть по крайней мере четыре разных способа решения, один из которых (авторский, а автор --- Валерий Сендеров) совсем элементарный.

[ex-math]

Я тоже с точным решением возился, но не догадался представить $-1$ в виде $\xi_+\xi_-$. Ну а раз на точное решение сразу набросился, то второй способ тем более не разглядел

[nnosipov]

У меня ещё хуже было, когда впервые эту задачу решал. Вообще не смог придумать элементарного решения, а увидел только, что можно воспользоваться факториальностью кольца $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Четвертый способ, кстати, такой: нужно методом спуска решать более общее уравнение $x^4-2y^2=z^4$ (иными словами, доказать, что уравнение $x^4-2y^2=1$ имеет только тривиальные решения в рациональных числах).

[scwec]

При $|x|>1$ число $x^4-1$ конгруэнтное, а $2y^2$ нет. Стало быть только $|x|=1$.

[nnosipov]

Угу.

[scwec]

Это называется вспомнили молодость.