Линейно независимые функции

[AGu]

Пусть $X$ — произвольное множество. Конечный набор функций $f_1,\dots,f_n\colon X\to\mathbb R$ линейно независим (в векторном пространстве $\mathbb R^X$) тогда и только тогда, когда существует такой набор точек $x_1,\dots,x_n\in X$, что матрица $\bigl(f_i(x_j)\bigr)_{i,j\in\{1,\dots,n\}}$ обратима.

[patzer2097]

Если векторы $\varphi_x=(f_1(x),\ldots,f_n(x))$ порождают собственное подпространство $\mathbb{R}^n$, то они лежат в ядре некоторого линейного функционала, и потому функции линейно зависимы. Иначе выберем базис $\varphi_{x_1},\ldots,\varphi_{x_n}$.

[Oleg Zubelevich]

еще одна задача, тоже вполне тривиальная: доказать, что $(\mathbb{R}^X)^*$ состоит из конечных линейных комбинаций $\delta-$функций

[patzer2097]

Oleg Zubelevich в сообщении #965944 писал(а):

доказать, что $(\mathbb{R}^X)^*$ состоит из конечных линейных комбинаций $\delta-$функций

А разве это верно? Если $X$ - это континуум, например, то размерность $\mathbb{R}^X$ равна $2^{|X|}$, а потому размерность $(\mathbb{R}^X)^*$ не может быть меньше, чем $2^{|X|}$. В то время как дельта-функций только $|X|$ (если я, конечно, правильно понял, что имеется в виду).

[Oleg Zubelevich]

Да, да. Я там топологию прямого произведения вводил в $\mathbb{R}^X$. так мне почему-то пригрезилось в ночи, что $(\mathbb{R}^X)^*=(\mathbb{R}^X)'.$
Это $(\mathbb{R}^X)'$ состоит из линейных комбинаций $\delta-$функций, а $(\mathbb{R}^X)^*$ больше, конечно вообще говоря.

[AGu]

patzer2097, великолепное решение! Гораздо умнее и короче задуманного мной. Спасибо.

[ewert]

Вообще-то это была теорема насчёт "количество линейно независимых столбцов равно количеству линейно независимых строк", обобщённая на случай полубесконечной матрицы -- когда строк эн, столбцов же сколько угодно. Однако дело в том, что при доказательстве этого факта мощность множества столбцов вообще никак не используется (как и мощность множества строк, между прочим).