Функциональное уравнение III

[Профессор Снэйп]

Найти все функции $f : (0,+\infty) \to (0,+\infty)$, для которых выполнено тождество $f(f(x)) = 6x - f(x)$.

[maxal]

Пусть $g(x)=f(x)+3x$, тогда $g(f(x))=2g(x)$, а значит $g(f^{(n)}(x))=2^n g(x)$ или $f^{(n+1)}(x) + 3f^{(n)}(x) = 2^n (f(x)+3x)$ для всех натуральных $n$.

Пусть теперь $h(x)=f(x)-2x$, тогда $h(f(x))=-3h(x)$, а значит $h(f^{(n)}(x))=(-3)^n h(x)$ или $f^{(n+1)}(x) - 2f^{(n)}(x) = (-3)^n (f(x)-2x)$.

Решаем полученные уравнения относительно $f^{(n)}(x)$:

$$f^{(n)}(x) = \frac{2^n - (-3)^n}{5} f(x) + \frac{3\cdot 2^n + 2 (-3)^n}{5}x.$$

Отсюда в виду положительности $f^{(n)}(x)$, беря четные и нечетные $n$, получаем

$$\frac{3\cdot 2^{2k+1} + 2 (-3)^{2k+1}}{(-3)^{2k+1} - 2^{2k+1}}x < f(x) < \frac{3\cdot 2^{2k} + 2 (-3)^{2k}}{(-3)^{2k} - 2^{2k}}x.$$

Устремляя $k$ к бесконечности, с необходимостью получаем $f(x)=2x$.

[Профессор Снэйп]

Надо ещё дописать, как в последних неравенствах $k$ от $n$ зависит

[Edward_Tur]

Несколько иное решение этого ФУР'а с PUTNAM 1988 - http://www.kalva.demon.co.uk/putnam/psoln/psol885.html

[Профессор Снэйп]

Там, по сути, то же самое решение. Всё основывается на том, что

\[ \left( \begin{array}{c} f(f(x)) \\ f(x) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} -1 & 6 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} f(x) \\ x \end{array} \right) \]

Отсюда следует, что

\[ \left( \begin{array}{c} f^{(n+1)}(x) \\ f^{(n)}(x) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} -1 & 6 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^n \left( \begin{array}{c} f(x) \\ x \end{array} \right) \]

Числа $2$ и $-3$ --- это собственные значения матрицы

\[ \left( \begin{array}{rr} -1 & 6 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \]

Для того, чтобы $f^{(n)}(x)$ было больше нуля при любом $n$ необходимо и достаточно, чтобы при любом $x$ вектор

\[ \left( \begin{array}{c} f(x) \\ x \end{array} \right) \]

был собственным вектором этой матрицы, соответствующим собственному значению $2$.