О корректности задачи

[PAV]

shwedka писал(а):

Мне кажется, что более содержательная задача в условиях такого эксперимента могла бы быть такая.

Хорошая задача для курса математической статистики. А первоначальная постановка используется в самом начале курса теории вероятностей, при знакомстве с базовыми свойствами событий.

[Yuri Gendelman]

Архипов писал(а):

Нет возражений против Ваших утверждений. Но Вы косвенно указываете на то, что можно усомниться в достоверности второго условия и что тогда делать? Правильного решения не получить?

Я имел в виду вовсе не достоверность второго условия, а его практическую реализуемость. Теоретически 99 решек подряд возможны. По крайней мере никаких научных законов, которые бы это запрещали, я не знаю. Между прочим, в университетском курсе теории вероятностей специально подчеркивается, что невозможное событие имеет вероятность 0. Но не всякое событие, имеющее вероятность 0, невозможно. В дальнейшем, научившись решать задачи по теории вероятностей, можно перейти к задачам математической статистики. Например, к задаче, которую предложила shwedka.

Архипов писал(а):

Задача: "вероятности орла и решки в любом из бросков монеты одинаковы и равны 1/2. Сделано 99 бросков и все выпали решки. Выполняем 100-ый бросок. Какова вероятность выпадения орла в 100-м броске?"
Смотрим первое условие - там ответ: в любом броске....1/2.
Зачем тогда дан факт "99 решек"? Просто для того, чтобы сбить с толку?

Для того, чтобы учащийся понял, что конкретное значение числа во втором условии не важно, даже если это число - 99.

Архипов писал(а):

Я исходил из принципа необходимости и достаточности условий в задаче: первое условие в рассматриваемой задаче необходимо и достаточно для ответа на вопрос задачи. Второе условие на ответ не влияет, то есть лишнее. Зачем тогда оно в задаче присутствует? Если его убрать, ответ будет прежним, но и задача рассыплется, так как явно будет видна тавтология.

Т.е. Вы сами пришли к выводу, что 2-е условие вовсе и не лишнее. Формально можно было бы заменить "99 решек" на "N решек". Но это было бы слишком явной подсказкой.


P.S. Мне кажется, эта тема должна быть в разделе "Помогите разобраться", а не в "Дискуссионных".

[нг]

Yuri Gendelman писал(а):

P.S. Мне кажется, эта тема должна быть в разделе "Помогите разобраться", а не в "Дискуссионных".

Согласен

[Архипов]

TOTAL писал(а):

Десять одинаковых яблок вместе весят ровно 1 кг. Сколько весит одно яблоко?
Из того, что на практике не бывает одинаковых яблок, можно тоже засомневаться в корректности задачи и испытать удовольствие

Вот если бы Вы пропустили слово "одинаковых", я бы действительно рассмеялся и задал вопрос: "А которое из них?" Хотя и к характеристике "одинаковые" можно придраться. Одинаковых по цвету, запаху, вкусу, объему, весу или массе?

Добавлено спустя 56 минут 15 секунд:

Yuri Gendelman писал(а):

Т.е. Вы сами пришли к выводу, что 2-е условие вовсе и не лишнее. Формально можно было бы заменить "99 решек" на "N решек". Но это было бы слишком явной подсказкой.

Не понял. Что подскажет "N решек" ? Мне-то кажется, что такая замена окончательно запутает условия. Пределы N не заданы. Если N=0, то опыта и не было ("пустое" условие). Если N=10^6 (миллион), то это условие уже несомненно будет противоречить первому (вероятность 1/2). Или вероятность 0 - по закону больших чисел, или вероятность 1/2 - по первому условию. Два ответа к задаче?.

[--mS--]

Архипов писал(а):

Если N=10^6 (миллион), то это условие уже несомненно будет противоречить первому (вероятность 1/2). Или вероятность 0 - по закону больших чисел, или вероятность 1/2 - по первому условию. Два ответа к задаче?.

Давайте я ещё раз попробую объяснить условие задачи.
1) Вероятность выпадения орла миллион раз подряд равна $1/2^{1000000}$. Это число хоть и безумно мало, но всё же положительно. Согласны?
2) Если этот миллион бросаний монеты повторять $2^{1000000+1}$ раз, то в среднем одна серия в миллион орлов выпадет. Согласны?
3) Рассмотрим безумное количество демонов, очень-очень быстро бросающих монету по миллиону раз каждый. Выберем среди них тех ("удачливых"), у кого все миллион монет упали орлом. Такие будут, верно?
4) Попросим их бросить свою монету ещё один раз. А теперь подсчитаем долю демонов, выбросивших орла, среди этих "удачливых". Какова она?

Вот вопрос задачи. И в нём совершенно не важно, насколько маловероятно событие, которое, как сказано в условии, случилось. Вероятность положительна => оно имело право случиться.


P.S. Я, правда, считаю очень вредным обучать автора темы: сейчас он примерно половину задач тем, кто сам учиться не хочет, на форуме МФТИ не решает, часть решает неверно, а ну как обучим - будет все и верно решать. Это ж сколько вреда

[Архипов]

--mS-- писал(а):

Давайте я ещё раз попробую объяснить условие задачи.
1) Вероятность выпадения орла миллион раз подряд равна . Это число хоть и безумно мало, но всё же положительно. Согласны?

Cогласен. Это Вы рассмотрели первое условие задачи и посчитали вероятность выпадения миллиона решек для миллиона бросков для вероятности 1/2.
Второе условие: "выпало миллион решек" . Вы знаете, что есть частотное определение вероятности: "вероятность выпадения решки равна количеству выпавших решек, деленному на количество бросков. Делим миллион на миллион - равно единице. Вероятность орла тогда равна нулю.( их и не наблюдалось в опыте).
Вот в чем я вижу некорректность такой постановки задачи.

[Vovochka]

Архипов писал(а):

Кстати, ответ к этой "задаче" кочует из глубины лет и выглядит так: "монета не имеет памяти, потому вероятность в каждом броске одинакова". Но в первом условии вероятность 1/2 уже постулирована! Зачем лишние аргументы с памятью? И что такое память объекта в математике?

...не думаю, что имелось ввиду "память объекта", скорее "память процесса".., существуют случайные процессы не имеющие и имеющие "память", например: процесс ценообразования "имеет память"...

[Gordmit]

Vovochka писал(а):

...не думаю, что имелось ввиду "память объекта", скорее "память процесса".., существуют случайные процессы не имеющие и имеющие "память", например: процесс ценообразования "имеет память"...

Полагаю, совсем ни к чему конструировать какое-то искусственное понятие "памяти". Здесь, очевидно, "монета не имеет памяти" означает ровно то, что испытания независимы (т.е. каждое последующее испытание, бросок монеты, не зависит от предыдущих, "не помнит" о них). (Об этом уже сказали PAV и Yuri Gendelman.)

[Yuri Gendelman]

Архипов писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

Т.е. Вы сами пришли к выводу, что 2-е условие вовсе и не лишнее. Формально можно было бы заменить "99 решек" на "N решек". Но это было бы слишком явной подсказкой.

Не понял. Что подскажет "N решек" ?

Что результат (N+1)-го испытания не зависит от числа (и исхода!) предыдущих N испытаний. Даже если N=10^6.
Вы, по-моему, путаете
а) заданную в 1-м условии вероятность отдельного испытания (1/2) и
б) требуемую в задаче условную вероятность 100-го испытания при условии известного результата предыдущих 99.
Поскольку все 100 испытаний независимы, эта искомая условная вероятность тоже равна 1/2. Но это не просто копирование 1-го условия в ответ, а [тривиальное] применение формул условной вероятности.

Архипов писал(а):

Если N=10^6 (миллион), то это условие уже несомненно будет противоречить первому (вероятность 1/2).

Нет, не будет противоречить. Вероятность миллиона решек подряд исчезающе мала, $(\frac 1 2)^{1000000}$, но все же больше 0.

Архипов писал(а):

Вы знаете, что есть частотное определение вероятности: "вероятность выпадения решки равна количеству выпавших решек, деленному на количество бросков. Делим миллион на миллион - равно единице. Вероятность орла тогда равна нулю.( их и не наблюдалось в опыте).
Вот в чем я вижу некорректность такой постановки задачи.

Вот оно в чем дело! Вы пытаетесь применить к задаче по теории вероятностей методы математической статистики. Но тем самым Вы подменяете одну задачу другой.

Предположим, Вы правы, и пусть N=2. Но и тогда по Вашей логике вероятность решки равна 1 (делим 2 на 2). А если N=1? Тоже самое (делим 1 на 1). Явно приходим к абсурду. Т.е. в Вашем рассуждении на самом деле неявно присутствует анализ отклонения теоретической вероятности от ее выборочной оценки и тот факт, что чем больше испытаний, тем меньше это самое отклонение должно быть. Все это верно, но относится к матстатистике.

[Vovochka]

Gordmit писал(а):

Vovochka писал(а):

...не думаю, что имелось ввиду "память объекта", скорее "память процесса".., существуют случайные процессы не имеющие и имеющие "память", например: процесс ценообразования "имеет память"...

Полагаю, совсем ни к чему конструировать какое-то искусственное понятие "памяти". Здесь, очевидно, "монета не имеет памяти" означает ровно то, что испытания независимы (т.е. каждое последующее испытание, бросок монеты, не зависит от предыдущих, "не помнит" о них).

...я только высказался по самому понятию "памяти".., по-вашему, зависимость испытаний и есть память.., в любой точке ценового ряда вероятность направления движения цены = 1/2 и при объяснении очень часто сравнивается с подбрасыванием монеты.., приращения независимы, а "память" есть, может Вы объясните почему?

Спасибо.

[PAV]

Ваш пример убеждает меня в методологической правильности рассмотрения этой задачи с целью устранения многих непониманий.

Миллион выпадений орла подряд не противоречит условию (обратите внимание - условию, а не гипотезе!) о правильности монеты. Для правильной монеты все элементарные исходы равновероятны и равноправны. Данный исход ничем не лучше и не хуже остальных.

В данном случае речь идет лишь о вычислениях различных вероятностей в четко заданной ситуации. Задача учит, что в эти вычисления не должны подмешиваться разные интуитивные соображения о "правдоподобности наблюдаемого". Решение просто не зависит от этих соображений. Вы же, как было уже неоднократно подмечено, подменяете одну задачу другой (вероятностную - статистической).

Впрочем, я вряд ли смогу лучше, чем --mS--, объяснить содержательный смысл правильного решения и ответа в данной задаче.

Архипов писал(а):

Вы знаете, что есть частотное определение вероятности: "вероятность выпадения решки равна количеству выпавших решек, деленному на количество бросков. Делим миллион на миллион - равно единице. Вероятность орла тогда равна нулю.( их и не наблюдалось в опыте).

За такое рассуждение я бы без колебаний отправил студента на пересдачу. Такого определения вероятности нет. Это лишь определение частоты события, которое произошло в данной серии испытаний.

[Gordmit]

Vovochka писал(а):

...я только высказался по самому понятию "памяти".., по-вашему, зависимость испытаний и есть память.., в любой точке ценового ряда вероятность направления движения цены = 1/2 и при объяснении очень часто сравнивается с подбрасыванием монеты.., приращения независимы, а "память" есть, может Вы объясните почему?

Спасибо.

Я уже теорию случайных процессов подзабыл, но разве независимость приращений влечет за собой независимость случайных величин $\xi_t$ и $\xi_s$ при всех $t\neq s$?

[Vovochka]

PAV писал(а):

Ваш пример убеждает меня в методологической правильности рассмотрения этой задачи с целью устранения многих непониманий.

Добрый день.

...если это реферанс на мой постер, то я, вроде, не высказывал сомнений по поводу методологической правильности постановки задачи, а наоборот, считаю, что "провокационные" элементы, если они не противоречат условию, дадут возможность студенту, в процессе работы над задачей, глубже понять предмет, а преподавателю точнее оценить глубину знаний...
...можно даже попытаться определить некоторые качества профессора: если задача дана не в первый день изучения курса Теорвера, а хотя бы на первом контроле знаний (задача провокационная, но очень лёгкая даже для первого контроля), то профессор(преподаватель) достаточно хорошо знает и серьёзно относится к своему предмету, добрый, не имеющий никакого желания завалить своего студента, с оттенками романтизма и авантюризма и.т.д.., одним словом - хороший проф...

[PAV]

Vovochka писал(а):

если это реферанс на мой постер

Извиняюсь за неточность. Это был ответ на сообщение Архипов'а

[Henrylee]

Gordmit писал(а):

Vovochka писал(а):

...я только высказался по самому понятию "памяти".., по-вашему, зависимость испытаний и есть память.., в любой точке ценового ряда вероятность направления движения цены = 1/2 и при объяснении очень часто сравнивается с подбрасыванием монеты.., приращения независимы, а "память" есть, может Вы объясните почему?

Спасибо.

Я уже теорию случайных процессов подзабыл, но разве независимость приращений влечет за собой независимость случайных величин $\xi_t$ и $\xi_s$ при всех $t\neq s$?

Вы совершенно правы, совершенно не влечет. Как раз наоброт - скорее подтверждает зависимость, так как процессы с независимыми приращениями, как известно, непрерывный аналог сумм независимых случайных величин.