Получено ли доказательство?

[Sinoid]

Подскажите, пожалуйста. Попалась такая задача: доказать неравенство $\left|z_{1}+z_{2}\right|\geq\dfrac{1}{2}(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|)\left|\dfrac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}+\dfrac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}\right|$, где $z_1$ и $z_2$ - комплексные числа. Мне же, исходя из очевидного неравенства $2\geq\left|\dfrac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}+\dfrac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}\right|$ и азбучного неравенства $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\geq\left|z_{1}+z_{2}\right|$, кажется, что в исходном неравенстве левый модуль и правая круглая скобка перепутаны местами и их нужно переставить. Скажите, я верно понимаю или все-таки следует искать доказательство исходного неравенства?

[grizzly]

Ваше обоснование необходимости упрощения / усложнения задачи не выглядит убедительным. Имело бы смысл либо привести простенький контрпример к поставленной задаче и на основании этого взяться за усложнение, либо наоборот -- признать задачу слишком сложной для себя и с обоснованием "зато вот такую я могу решить" решать упрощённую.

[Sinoid]

grizzly в сообщении #965284 писал(а):

Ваше обоснование

Я ничего не обосновывал, я просто спросил, неравенство верно или нет.

[grizzly]

Sinoid в сообщении #965264 писал(а):

Скажите, я верно понимаю или все-таки следует искать доказательство исходного неравенства?

1. Я считаю, что неверно понимаете.
2. Следует искать доказательство или опровержение / контрпример.

Sinoid в сообщении #965295 писал(а):

я просто спросил, неравенство верно или нет.

Я не доказывал, но выглядит вполне правдоподобно.

[provincialka]

Неравенство в условие задачи верное. Легко проверяется возведением в квадрат, например.

[ewert]

Sinoid, раскройте скобки в правой части. Тогда требуемое неравенство будет следовать из тождества $\left|\dfrac{z_1}{|z_1|}\cdot|z_2|+\dfrac{z_2}{|z_2|}\cdot|z_1|\right|\equiv|z_1+z_2|$, которое геометрически совершенно очевидно: треугольник в левой части -- это просто перевёрнутый треугольник из правой.

[Sinoid]

provincialka в сообщении #965303 писал(а):

Легко проверяется возведением в квадрат, например.

Подставлять $z_{k}=x_{k}+iy_{k}$, что ли?

[ewert]

Sinoid в сообщении #965608 писал(а):

Подставлять $z_{k}=x_{k}+iy_{k}$, что ли?

Умучаетесь с четырьмя параметрами. И даже в общих обозначениях возводить в квадрат не слишком перспективно -- многовато слагаемых.

Ладно, если лень раскрывать скобки, то вот чисто геометрическое доказательство. Если чуть-чуть (самую малость) подумать, то очевидно, что $\left|\dfrac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}+\dfrac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}\right|$ есть удвоенный косинус одного довольно любопытного угла. Соответственно, в правой части стоит проекция вектора $z_1+z_2$ на нечто. Ну а в левой -- его же проекция на самого себя. Естественно, левая проекция больше.

[provincialka]

Sinoid в сообщении #965608 писал(а):

Подставлять $z_{k}=x_{k}+iy_{k}$, что ли?

Я в экспоненциальной форме делала. И использовала то, что $|z|^2=z\bar z$.
Но геометрически, конечно, интереснее.

[Sinoid]

ewert в сообщении #965663 писал(а):

Умучаетесь с четырьмя параметрами.

Потому я и не очень-то и пробовать хотел. Но в экспоненциальной форме ведь тоже 4 параметра. Ладно буду пробовать и так и так. Позже напишу.

[Sinoid]

С экспоненциальной формой все совпало, а вот с геометрической...

ewert в сообщении #965663 писал(а):

$\left|\dfrac{z_{1}}{\left|z_{1}\right|}+\dfrac{z_{2}}{\left|z_{2}\right|}\right|$ есть удвоенный косинус одного довольно любопытного угла

Это-половина угла, меньшего $\pi$, между $z_1$ и $z_2$, но как может быть

ewert в сообщении #965663 писал(а):

в правой части стоит проекция вектора $z_1+z_2$ на нечто

,
если в правой части стоит не $\left|z_{1}+z_{2}\right|$, а $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$?

[ewert]

Sinoid в сообщении #965888 писал(а):

если в правой части стоит не $\left|z_{1}+z_{2}\right|$, а $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$?

Это правильный вопрос. Но дело в том, что умножаются-то те длины на один и тот же косинус и, значит, этот косинус можно вынести за скобки. Вот и выходит проекция суммы на биссектрису.

-- Ср янв 21, 2015 00:46:39 --

Я неправильно выразился. Не выносить за скобки, конечно, а просто представить произведение каждой длины на косинус как проекцию на биссектрису и потом эти проекции тупо сложить. Ну Вы поняли, надеюсь.

[Sinoid]

ewert в сообщении #965898 писал(а):

Вот и выходит проекция суммы на биссектрису.

Так суммы-то модулей, а не модуля суммы

[provincialka]

Проекция -- вообще не модуля, а вектора (компл. числа). Каждого по-отдельности.

[ewert]

Sinoid в сообщении #965904 писал(а):

Так суммы-то модулей, а не модуля суммы

Я уже исправился, в смысле попытался.