Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных

[vpb]

Уважаемые коллеги,
известно ли вам что-нибудь (какие-либо факты, литература и т.д., в общем,
руководящие указания) относительно следующей задачи (заранее извиняюсь,
если задача тривиальная, я по матанализу не специалист).

Пусть $f(x_1,\ldots,x_n)$ --- многочлен степени $d$ от $n$ действительных
переменных, и известно, что $f(x_1,\ldots,x_n)\to +\infty$ при $x_1^2+\ldots+x_n^2 \to +\infty$. Тогда, очевидно, число локальных минимумов многочлена $f$ конечно.
Верно ли, что оно ограничено некоторой функцией $p(d,n)$ от $d$ и $n$?

Если $d=0$ или $1$ , то многочленов, удовлетворяющих условию, вообще нет.
Если $d=2$ , то легко видеть, что $f$ приводится аффинным преобразованием
переменных к сумме квадратов и потому имеет ровно один локальный минимум.
Кроме того, $d$ не может быть нечетным, т.к. тогда старшая форма $h$ многочлена
$f$ --- ненулевая нечетная функция, значит, она принимает отрицательное значение
на некотором $\overline x=(x_1,\ldots,x_n)$ , откуда $f(t\overline x)\to -\infty$ при
$t\to +\infty$, значит, $f$ не ограничено снизу . Значит, ответ на вопрос может
быть отрицательным лишь начиная с $d=4$.

Допустим далее, что ответ положителен. Можно ли указать в явном виде верхнюю
оценку для $p(d,n)$ (хотя бы при $d=4$ ) как функции от $n$ : константа, полином,
экспонента, экспонента от полинома, или еще более быстро растущая функция?

Заранее спасибо. vpb.

[Evgenjy]

Число локальных минимумов может быть бесконечно: $f(x,y)=(x^2+y^2)^2-(x^2+y^2)$. Локальные минимумы составляют окружность $x^2+y^2=0,5$.

[vpb]

Спасибо, Евгений.
На самом же деле меня интересует случай, когда функция по каждой переменной не более чем квадратична.
Можете ли Вы (или другие коллеги) что-то сказать по этому поводу? vpb

[Lia]

vpb

Устное замечание за искажение ника.

[grizzly]

vpb в сообщении #964704 писал(а):

На самом же деле меня интересует случай, когда функция по каждой переменной не более чем квадратична.

Ну и что это меняет? Возьмите $f(x,y)=x^2+y^2$. Здесь даже глобальных минимумов целая прямая. Хотя и не такое красивое получается, как у Evgenjy.

Или Вам с перламутровыми пуговицами? :) Лучше поищите общую ошибку в своих рассуждениях.

[kp9r4d]

grizzly в сообщении #964786 писал(а):

Здесь даже глобальных минимумов целая прямая

И что это за прямая?

[provincialka]

kp9r4d
Там, похоже, опечатка. Должно было быть $(x+y)^2$

[Sender]

Тогда не выполнено условие

vpb в сообщении #964566 писал(а):

$f(x_1,\ldots,x_n)\to +\infty$ при $x_1^2+\ldots+x_n^2\to +\infty$

[grizzly]

provincialka в сообщении #964851 писал(а):

Там, похоже, опечатка. Должно было быть $(x+y)^2$

Конечно. При правке перепутал скобки с квадратами -- артефакты копипастных методов :)

Но замечание Sender убивает этот пример, согласен. Мои извинения.

[Evgenjy]

vpb в сообщении #964704 писал(а):

На самом же деле меня интересует случай, когда функция по каждой переменной не более чем квадратична.
Можете ли Вы (или другие коллеги) что-то сказать по этому поводу?

Вы это можете сами

vpb в сообщении #964566 писал(а):

Если $d=2$ , то легко видеть, что $f$ приводится аффинным преобразованием
переменных к сумме квадратов и потому имеет ровно один локальный минимум.

Могла бы быть линия, или вообще подпространство локальных минимумов, но это исключается условием

vpb в сообщении #964566 писал(а):

известно, что $f(x_1,\ldots,x_n)\to +\infty$ при $x_1^2+\ldots+x_n^2\to +\infty$.

[Sender]

Могут быть ещё всякие вещи вроде $x^2y^2+x^2y+xy^2+x^2+y^2+xy+x+y$.

[vpb]

Evgenjy,
нет, я, ей-богу, сам не могу. Единственное, что я пока установил --- что при d=4, n=2 минимумов не более трех. Буду признателен, если Вы напишете то, что Вам пришло в голову, в явном виде. С уважением, vpb.

[Deggial]

vpb в сообщении #965199 писал(а):

d=4, n=2

vpb, все формулы и термы следует оформлять $\TeX$ом.

[Evgenjy]

vpb в сообщении #965199 писал(а):

Единственное, что я пока установил --- что при d=4, n=2 минимумов не более трех.

$f(x,y)=(x^4-x^2)+(y^4-y^2)$ имеет четыре локальных минимума.
Уточним задачу. Поскольку было показано, что локальные минимумы могут составлять целое многообразие, то следует говорить об изолированных локальных минимумах. Теперь такое соображение. По каждой переменной возьмем многочлен Чебышёва (первого рода) степени $d$. Он будет иметь $d/2$ локальных минимума ($d-$ четное). Составим сумму этих многочленов. Полученный многочлен будет иметь $(d/2)^n$ локальных минимумов. Думаю, что больше изолированных локальных минимумов получить нельзя.

[Sender]

Evgenjy в сообщении #965383 писал(а):

$f(x,y)=(x^4-x^2)+(y^4-y^2)$[/math] имеет четыре локальных минимума.

Это уже не укладывается в условие

vpb в сообщении #964704 писал(а):

На самом же деле меня интересует случай, когда функция по каждой переменной не более чем квадратична.

Если я правильно понимаю, это означает, что степень каждой из переменной в любом члене этого многочлена не превышает 2.