2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Утв. о предельных циклах и асимптотич. устойчивых особ. точк
Сообщение18.01.2008, 16:46 
Помогите, пожалуйста.
Утверждение:
Пусть H(x) - первый интеграл системы $x' = f(x), f \in C^1$, на плоскости (т.е. H - функция, постоянная на траекториях системы). Если H не константа на любом открытом множестве, то система не имеет предельных циклов и асимптотически устойчивых особых точек.

 
 
 
 
Сообщение18.01.2008, 17:01 
может от обратного попробовать???

 
 
 
 
Сообщение18.01.2008, 21:08 
Дык, опять-таки используйте первый интеграл как функцию Ляпунова.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 21:14 
Цитата:
опять-таки используйте первый интеграл как функцию Ляпунова

Но ведь первый интеграл не обязан быть положительно определенной функцией. С другой стороны, даже если это было бы так. Тогда можно предположить существование устойчивого решения на котором первый интеграл равен нулю. При этом если производная
H(x) на любой точке из некоторой окрестности этого решения отрицательна, то существует асимптотически устойчивая особая точка.

Наверное я где-то ошибаюсь поскольку иначе доказываемое утверждение получается неверным.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 21:20 
При этом производная $H(x)$ равна нулю, ибо это первый интеграл.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 21:27 
А в качестве функции Ляпунова подойдет $H(x)^2$?

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 21:43 
Конечно подойдет.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 21:49 
Несуществование предельного цикла следует из несуществования асимптотически устойчивой особой точки ? Или несуществование предельного цикла следует из несуществования решения асимптотически устойчивого по Ляпунову?

 
 
 
 
Сообщение20.01.2008, 04:47 
Из несуществования решения, асимптотически устойчивого, и несуществования решения, асимптотически неустойчивого.

 
 
 
 
Сообщение20.01.2008, 12:34 
Спасибо. Теперь вопрос решен.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group