2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лемниската с континуумом фокусов
Сообщение05.01.2015, 01:38 
Аватара пользователя


14/08/12
309
Лемниската - геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до $N$ заданных фокусов равно заданной константе.

Но если множество фокусов непрерывно, то при расчёте происходит отсылка к "мультипликативному интегрированию" - это вызвано необходимостью вычислять бесконечное произведение.

Итак, $\prod_{i=1}^{N}\rho(\mathbf{r},A_i)=\operatorname{const}$ - уравнение лемнискаты, где $A_i$ - фокусы (для определённости в расчётах это мог бы быть радиус-вектор либо комплексное число, пока оставлю в таком виде), $\mathbf{r}$ - радиус-векторы искомых точек кривой, $\rho$ - расстояние между двумя точками.

В принципе, точно так же можно записать:
$$f(\prod_{i=1}^{N}\rho(\mathbf{r},A_i))=C$$
где $f$ - это оператор с требованием монотонности, $C$ - константа.

В качестве "таблетки от бесконечности" в произведении бесконечного множества расстояний до точек мы возьмём определение "мультипликативного интеграла", см. ссылку выше. Поменяем способ задания фокусов с индексного $A_i$ на параметрический: $A(s)$, где $s=0..1$. Теперь задаём разбиение множества значений $s$ как для интеграла, устремляем число отрезков в разбиении до бесконечности, берём предел:

$$\lim_{N\to\infty}\sqrt[N]{\prod_{i=1}^{N}\rho(\mathbf{r},A(\frac i N))}=C$$
К определению обычного интеграла переходим через логарифм:
$$\lim_{N\to\infty}\frac 1 N{\sum_{i=1}^{N}\ln\rho(\mathbf{r},A(\frac i N))}=\ln C$$
Отсюда неявный вид кривой таков:
$$\ln C=\int_0^1\ln\rho(\mathbf{r},A(\frac i N))ds$$

Например, для отрезка $A(s)=(s,0)$ имеем:
$$\ln C=y\arctg{\frac y {y^2+x^2-x}}+\frac x 2 \ln(x^2+y^2)-1+\frac {1-x}{2}\ln((x-1)^2+y^2)$$

Для окружности же ($\rho=\sqrt{(x-\cos(s))^2+(y-\sin(s))^2}$, $s=0..2\pi$) получается огромное выражение, которое к тому же сокращается в нуль (пределы интегрирования!..) - видимо, нужно считать через вычеты, или может быть будут другие предложения?

-- 05.01.2015, 03:10 --

Для отрезка $x=0$, $y=0..1$ семейство кривых выглядит так:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемниската с континуумом фокусов
Сообщение05.01.2015, 03:36 


12/09/08

2262
Alex_J в сообщении #956572 писал(а):
:
$$\ln C=\int_0^1\ln\rho(\mathbf{r},A(\frac i N))ds$$
Тут опечатка.

Если мне не изменяет интуиция, то результат будет зависеть не только от «геометрического места фокусов», но и от параметризации, а это, наверное, не совсем то, что Вы хотели получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемниската с континуумом фокусов
Сообщение05.01.2015, 11:09 
Аватара пользователя


14/08/12
309
вздымщик Цыпа в сообщении #956604 писал(а):
Тут опечатка.


Да, правильно так:
$$\ln C=\int_0^1\ln\rho(\mathbf{r},A(s))ds$$

И насчёт параметризации: тоже соглашусь, и если обратиться к интуиции, то пределы интегрирования должны быть от 0 до мощности континуума, т.е. напимер до величины длины отрезка. При расчёте окружности я как-то опять же интуитивно брал не 1, а $2\pi$. И, представляя $A(s)=(x(s),y(s))$, должно быть $\sqrt{\frac{dx}{ds}^2+\frac{dy}{ds}^2}=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемниската с континуумом фокусов
Сообщение05.01.2015, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Поскольку окружность обладает вращательной симметрией, то и ее лемниската обладает той же симметрией и представляет собой либо окружность, либо объединение окружностей с тем же центром. Ясно, что если "произведение" достаточно велико то получится лишь одна (внешняя) окружность, а если достаточно мало то к в внешней добавится еще и внутренняя (в принципе их может быть несколько, но это навряд ли), которая с ростом этого параметра коллапсирует к центру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемниската с континуумом фокусов
Сообщение15.01.2015, 20:09 
Аватара пользователя


14/08/12
309
Red_Herring

А что Вы скажете о правомерности моего метода расчётов?

То, что с окружностью и линия уровня будет окружностью, это понятно, интересно её поведение. Скорее всего, на $r>>R$ зависимость будет стремиться к линейной, а то и просто к $r=C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемниската с континуумом фокусов
Сообщение15.01.2015, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
При некоторых $r$ мы имеем как минимум две окружности. Если же $C\gg 1$ то будет одна и посчитать асимптотическое поведение $C(R)$ где $R$ радиус этой окружности достаточно просто: надо рассмотреть
$$\int_0^{\pi}\ln \bigl((R-\cos(s))^2+(\sin(s))^2\bigr)\,ds=2\pi \ln R + \int_0^{\pi}\ln \bigl(1-2R^{-1}\cos(s)+R^{-2}\bigr)\,ds$$ и разложить второй член по степеням $R^{-1}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group