Функциональный ряд

[kerz-3-06]

Помогите определить равномерную сходимость такого ряда:

$$\sum\limits \frac {Cos(\frac x n)} {n^x+1}$$

[AD]

На чём?

[kerz-3-06]

хм. на R

[AD]

При x=0 ряд, очевидно, расходится.

[kerz-3-06]

Вообще при x <= 0 ряд не сходится даже поточечно(слагаемые к нулю не стремятся). А вот, что делать при x>0 ?

[AD]

Еще раз, ряд не может "равномерно сходиться в точке". Он может только "равномерно сходиться на множестве". Итак, смотрим множество $(0,+\infty)$, да? Что в задаче-то написано?

Добавлено спустя 2 минуты 32 секунды:

Кстати, мне совсем не очевидно, что ряд сходится при x=1. То есть даже очевидно, что расходится, потому что он как 1/n, то есть числитель больше 1/2 с некоторого номера, а знаменатель у нас как 1/n, итого всё плохо.

[kerz-3-06]

ок, в таком случае, скажем так: найти промежутки на которых ряд равномерно сходится!

[Someone]

Рассмотрите отдельно случаи $0<x\leqslant 1$ и $x>1$. Признаков сравнения для проверки сходимости в обоих случаях должно хватить.

Потом можно будет разбираться и с равномерной сходимостью.

P.S. Ряд действительно такой:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(\frac xn)}{n^x+1}$$

?

[kerz-3-06]

да, ряд именно такой

[AD]

Тогда берем промежуток $[1+\varepsilon,+\infty)$, где $\varepsilon>0$, и берем признак Вейерштрасса.

[kerz-3-06]

да, мы получаем sup нашего ряда

$$= \frac 1 {n^a +1}$$

, где a - левая граница этого промежутка, потому он сходится равномерно на [a,+\infty) при a>1


при x<0 он не скходится даже поточечно.

а что делать при x от 0 до 1 ?!

[AD]

kerz-3-06 писал(а):

а что делать при x от 0 до 1 ?!

По-моему, я это уже обсудил. Даже в х=1 ряд расходится.

[kerz-3-06]

AD писал(а):

Кстати, мне совсем не очевидно, что ряд сходится при x=1. То есть даже очевидно, что расходится, потому что он как 1/n, то есть числитель больше 1/2 с некоторого номера, а знаменатель у нас как 1/n, итого всё плохо.

а можно это обьяснение поподробнее?! или хотя бы более формально.

[AD]

Ну поскольку

$$\lim_{n\to\infty}\cos\frac{x}{n}=1$$

, то с некоторого момента (т.е. есть такое N, что при n>N) имеем $\cos\frac{x}{n}>1/2$. Логично?

Но тогда n-й член ряда будет с этого момента больше $\frac{1/2}{n^x+1}$, а этот ряд расходится.

[kerz-3-06]

спасибо