Вычислить неопределенный интеграл

[Irridium]

Помогите вычислить неопределенный интеграл:
$\int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2+4}}$

[Brukvalub]

Irridium писал(а):

Помогите вычислить неопределенный интеграл:
$\int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2*+4}}$

Интересно, а что обозначает звездочка под знаком корня? Если бы не звездочка, то я бы посоветовал попробовать одну из следующих замен: тригонометрическую, гиперболическую, или, для начала,

\[ t = \frac{1}{x} \]

[Irridium]

Прошу прощения, интеграл:
[math]$\int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2+4}}$[math]
Жаль по предварительному просмотру не показывает LaTex-картинку!

[Brukvalub]

Irridium писал(а):

Прошу прощения, интеграл:
[math]$\int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2+4}}$[math]

Стало еще хуже.

Irridium писал(а):

Жаль по предварительному просмотру не показывает LaTex-картинку!

У меня показывает

[Irridium]

Вот так должно получиться: $\int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2+4}}$
Пробовал замену переменной $x=2tgt$, но в итоге получается ответ с арктангенсами. А например Matchcad или Maple показывают гораздо более простой ответ. Может всетаки подскажите поподробнее ход решения?

[Алексей К.]

Brukvalub писал(а):

я бы посоветовал попробовать одну из следующих замен: тригонометрическую, гиперболическую, или, для начала, $t = \frac{1}{x}$.

Ну давайте по этой подсказке и попробуем.
$dt=-\frac{1}{x^2}dx$, $\quad dx=-x^2dt=-\frac{dt}{t^2}$.
Подставляйте пока, у меня совещание с министром образования.

[Irridium]

У меня вот что получается:
$\int\frac{-t^2dt}{\sqrt{\frac{1}{t^2}+4}}$
Но что с этим делать дальше?

[Brukvalub]

Рассмотреть, для начала, случай

\[t > 0\]

, после чего привести интеграл к виду

\[\int {\frac{{ - t^3 dt}}{{\sqrt {4t^2 + 1} }}} \]

и взять его стандартным способом.

[Irridium]

Brukvalub писал(а):

Рассмотреть, для начала, случай

\[t > 0\]

...

Чтото этот момент мне непонятен, ведь в условии нигде не оговаривается чему равен t или x. Как можно принимать что t>0, а что если t отрицательная?

[Brukvalub]

Irridium писал(а):

Чтото этот момент мне непонятен, ведь в условии нигде не оговаривается чему равен t или x. Как можно принимать что t>0, а что если t отрицательная?

Вот и рассмотрите отдельно случаи отрицательного и положительного t. Все равно, Ваша функция и ее первообразная разрывны в 0.

[Irridium]

Я прошу извинения, так как в высшей математике я не силен. Обьясните как взять интеграл $\int\frac{-t^3dt}{\sqrt{4t^2+1}}$ стандартным способом, под табличный интеграл он не подходит, значит опять подстановку нужно делать?

[Brukvalub]

Это делается методом неопределённых коэффициентов с использованием разложения, которое можно найти, например, в задачнике Демидович Б.П. — Сборник задач и упражнений по математическому анализу сразу после задачи № 1942.

[AD]

Brukvalub писал(а):

Это делается методом неопределённых коэффициентов

А не проще ли заменить $4t^2+1=z$, $8t\,dt=dz$?? Сразу всё сводится к сумме степенных функций.

[Brukvalub]

AD писал(а):

А не проще ли заменить $t^2=z$, $2t\,dt=dz$??

Да, так проще, но я же предлагал следовать Великой Общей Теории, а не упрощать сразу до решения "на коленке"

[Irridium]

А нельзя ли сразу сделать какуюто подстановку, чтобы упростить ход решения интеграла?