Код бинома

[PhisicBGA]

Цитата:

Тогда уж лучше так.

Так действительно лучше :коротко,убедительно и охватывает сразу всё заявленное свойство.Спасибо Вам большое!
Следовательно, общими усилиями мы доказали заявленное свойство бинома Ньютона и в дальнейшем,например, при поиске доказательства ВТФ в рамках классической математики,на это свойство можно смело опираться.Я правильно понимаю?

[nnosipov]

Не спешите. Пока это свойство установлено только для $n$, кратных четырём. А заявлено оно было для любого чётного $n$. Кстати, при $n=6$ оно тоже верно.

[PhisicBGA]

Цитата:

Не спешите.

Вы конечно же правы: необходимо ещё доказать, что уравнение $u^2^k+v^2^k=2w^k$,
имеет только тривиальные решения при натуральных$u ; v ;w ;k$,где $k$ нечетно.
Будем думать ...

[PhisicBGA]

И вот, что надумал... Рассмотрим бином 6-ой степени для натуральных чисел $ x;y$ разной чётности,$x>y$.Пусть сумма членов его разложения, стоящих на нечётных местах, будет равна кубу натурального числа $ z $:

$$x^6+15x^4y^2+15x^2y^4+y^6= z^3$$

.

[PhisicBGA]

[quote][И вот, что надумал../quote]
Продолжу..Преобразуем это уравнение:

$$x^2(x^2+3y^2)^2+y^2(y^2+3x^2)^2=z^3$$

$$(x^2-y^2)^2+2y^2(y^2+3x^2)^2=z^3$$

.
Совместно с этим уравнением рассмотрим равенство:

$$(x^2-y^2)^2+2y^2(y^4+3x^4)=(x^2+y^2)^3$$

.
Получим систему уравнений :

$$(x^2-y^2)^2+2y^2(y^2+3x^2)^2=z^3$$

.

$$(x^2-y^2)^2+2y^2(y^4+3x^4)=(x^2+y^2)^3$$

.
Вычтем из 1-го уравнения 2-ое уравнение и получим:

$$12x^2y^2(x^2+y^2)=z^3-(x^2+y^2)^3$$

Число $z$ должно быть кратно $(x^2+y^2)$.Пусть $z=k(x^2+y^2)$,где$k$ некое натуральное не чётное число. Тогда уравнение приводим к виду:

$$12x^2y^2(x^2+y^2)=(k^3-1)(x^2+y^2)^3$$

$$12x^2y^2=(k^3-1)(x^2+y^2)^2$$

$$12x^2y^2=(k^3-1)(x^4+2x^2y^2+y^4)$$

При min возможном $k=3$ получим $k^3-1=26$.Очевидно,что уже при min $k$ это равенство не возможно.Следовательно, и для бинома 6-ой степени заявленное свойство справедливо.

[grizzly]

Не смог понять логики рассуждений. Или есть ошибки, или какие-то идейно важные выкладки засекречены.

Спрошу пока следующее:
1) Предполагается ли какая-то связь между первым и вторым уравнением в последнем сообщении? В первое уравнение чистый $x$ входит в степени 6, а во второе -- в степени 4 (ещё глубже я этот переход не смотрел).
2)

PhisicBGA в сообщении #962319 писал(а):

Число $z$ должно быть кратно $(x^2+y^2)$.

Почему это? Я вижу только, что $z^3$ должно быть кратно $(x^2+y^2)$. Это не одно и то же.

[nnosipov]

PhisicBGA в сообщении #962319 писал(а):

Совместно с этим уравнением рассмотрим равенство:

$$(x^2-y^2)^2+2y^2(y^4+3x^4)=(x^2+y^2)^3$$

Это не тождество. Откуда оно взялось?

-- Чт янв 15, 2015 11:22:22 --

PhisicBGA в сообщении #962319 писал(а):

Следовательно, и для бинома 6-ой степени заявленное свойство справедливо.

Как мы уже видели, это сводится к уравнению $u^6+v^6=2w^3$. Но уже уравнение $u_1^3+v_1^3=2w^3$ имеет только тривиальные решения. Доказывается это утверждение примерно также, как и ВТФ при $n=3$.

[TR63]

nnosipov в сообщении #962398 писал(а):

уравнение $u_1^3+v_1^3=2w^3$ имеет только тривиальные решения. Доказывается это утверждение примерно также, как и ВТФ при $n=3$.

Можно продолжить аналогию, рассматриваемую относительно ВТФ. Рассмотрим уравнение $u^n+v^n=2w^n$. Для третьей степени решения только тривиальные. Тогда для второй степени (по аналогии с ВТФ) возможны и другие решения. И, что интересно, действительно, они есть. И grizzly вполне может их найти, используя свой удачный метод плюс беглый просмотр соответствующего раздела в учебнике по теории чисел (это, если возникнут проблемы). А далее заметим, что к этому уравнению сводится гипотеза Штейнгауза, которая рассматривалась в topic61748.html без получения какого-либо результата. Остаётся подставить решение уравнения второй степени в гипотезу Штейнгауза и посмотреть возникнут или нет проблемы.
(Не понимаю, почему участники той темы этого не сделали. Может, они не могли решить этого уравнения. Но уравнение очень простое. Кстати, с его помощью можно попробовать решать уравнение $x^4-6x^2y^2+y^4+c^2=0$.)

[PhisicBGA]

Цитата:

Или есть ошибки, или какие-то идейно важные выкладки засекречены.

Конечно же есть ошибка, за которую прошу прощения! Система уравнений должна быть такой :

$$(x^2-y^2)^3+2y^2(y^2+3x^2)^2=z^3$$

$$(x^2-y^2)^3+2y^2(y^4+3x^4)= (x^2+y^2)^3$$

.
Ещё раз простите за опечатку!

Цитата:

Я вижу только, что $z^3$ должно быть кратно $(x^2+y^2)$. Это не одно и то же.

Пусть $z^3$ будет кратно $(x^2+y^2)$, т.е.$z^3=k(x^2+y^2)$.Подставим это выражение в уравнение

$$x^2(x^2+3y^2)^2+y^2(y^2+3x^2)^2=z^3$$

. Получим

$$x^2(x^2+3y^2)^2+y^2(y^2+3x^2)^2=x^2k+y^2k$$

.
Уравнение будет справедливым,если :

$$k=x^2+3y^2$$

$$k=y^2+3x^2$$

или

$$k=x^2+2y^2$$

$$k=y^2+2x^2$$

Но это не возможно, т.к $x;y$разные взаимно простые натуральные числа.

[oeis]nnosipov в сообщении #962398 писал(а):
уравнение $u_1^3+v_1^3=2w^3$ имеет только тривиальные решения. Доказывается это утверждение примерно также, как и ВТФ при $n=3$.[/oeis]

Если алгоритм предлагаемого мной доказательства верен,то его можно попробовать распространить на биномы всех степеней с показателями $n=2k$, где $k$ не четное натуральное число.

[Lia]

PhisicBGA
Устное замечание за неверное оформление цитат (отсутствует заголовок). Освойте кнопку .

[nnosipov]

PhisicBGA в сообщении #962880 писал(а):

Если алгоритм предлагаемого мной доказательства верен ...

То, что Вы написали выше, доказательством не является.

[PhisicBGA]

nnosipov в сообщении #962920 писал(а):

То, что Вы написали выше, доказательством не является.

Что ж не так? Или невозможность равенства $12x^2y^2=(k^3-1)(x^4+2x^2y^2+y^4)$ ни при каких значениях натурального числа$k$ не является доказательством того ,что исходное уравнение из которого оно было получено является не верным?

[nnosipov]

PhisicBGA в сообщении #962319 писал(а):

Число $z$ должно быть кратно $(x^2+y^2)$.

Вот это взято с потолка, на что Вам уже указали. Дальше тоже какая-то ерунда. В общем, нет даже намёка на доказательство.

[PhisicBGA]

nnosipov писал(а):

Не спешите. Пока это свойство установлено только для $n$, кратных четырём. А заявлено оно было для любого чётного $n$. Кстати, при $n=6$ оно тоже верно.

nnosipov писал(а):

Как мы уже видели, это сводится к уравнению $u^6+v^6=2w^3$Как мы уже видели, это сводится к уравнению $u^6+v^6=2w^3$. Но уже уравнение $u_1^3+v_1^3=2w^3$ имеет только тривиальные решения. Доказывается это утверждение примерно также, как и ВТФ при $n=3$

Моей главной целью является доказательство справедливости заявленного свойства бинома Ньютона и замечательно ,что существует вполне надёжное доказательство этого свойства для всех степеней бинома кратных четырём.Я рад, что это свойство подтверждается и для 6-ой степени,как я понял, так же вполне надёжным доказательством.С робкой надеждой в душе я спрашиваю участников форума:нельзя ли эти надежные методы распространить и на остальные степени бинома кратные $2k$, где $k$- не чётное число,начиная с $n=10$, что бы не изобретать велосипед?

[TR63]

PhisicBGA в сообщении #958466 писал(а):

необходимо ещё доказать, что уравнение $u^2^k+v^2^k=2w^k$,
имеет только тривиальные решения при натуральных$u ; v ;w ; k$,где $k$ нечетно

PhisicBGA, если Вы хотите гипотетически экстраполировать полученные частные результаты по аналогии с ВТФ, то для данной аналогии у Вас ещё не достаёт выполнения необходимого условия: надо указать общее свойство, присущее всем уравнениям, начиная с $k=1$ (в ВТФ оно есть), соблюдая заявленное количество операций.