Уравнение Мещерского

[Ms-dos4]

fronnya
Кстати, именно для того, что бы первокурсники туда неподумавши минус не засунули потом, Сивухин аккуратно написал там $\[d{m_{gas}}\]$, а не $\[dm\]$. Эх, вот профессионализм

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #961751 писал(а):

fronnya
Кстати, именно для того, что бы первокурсники туда неподумавши минус не засунули потом, Сивухин аккуратно написал там $\[d{m_{gas}}\]$, а не $\[dm\]$. Эх, вот профессионализм

а я просто воспринимал, как $dm$, но он прям мысли читает

[Nemiroff]

Ms-dos4 в сообщении #961751 писал(а):

Кстати, именно для того, что бы первокурсники туда неподумавши минус не засунули потом, Сивухин аккуратно написал там $\[d{m_{gas}}\]$, а не $\[dm\]$.

И перед $dm$ резко минус исчезает.

[Ms-dos4]

Nemiroff
Вообще да, я там прикинул, профита с этого больше, так что пожалуй в Сивухине знаки выбраны лучше.

[olenellus]

Я сам всегда в этих бесконечно малых путаюсь. А не проще ли взять и поделить продифференцировать суммарный импульс? А потом, чтобы найти производную импульса "газа", перейти в инерциальную систему отсчёта, сопутствующую телу в данный момент (внешняя сила и ускорения инвариантны при преобразованиях Галилея). А именно, имеем $\frac{d}{dt}(p+p_\text{г})=F$, или, $\dot{p}+\dot{p}_\text{г}=F$. При этом $\dot{p}=\frac{d}{dt}(mv)=\dot{m}v+m\dot{v}$. В сопутствующей системе превый член исчезает, а второй есть $ma$ (где $a$ уже одинаково для любой инерциальной системы). Для скорости изменения импульса "газа" в сопутствующей сестеме, очевидно, имеем $\dot{p}_\text{г}=-\dot{m}u$ (масса "газа" растёт, если масса тела падает, и наоборот). В итоге сразу получаем $m\dot{v}=\dot{m}u+F$, что верно уже в любой инерциальной системе отсчёта.

Можно и не переходить в сопутствующую систему. Тогда надо учесть, что, если тело начало терять массу в нулевой момент времени, то импульс всего испущенного "газа" в момент времени $t$ будет равен $-\!\underset{0}{\overset{t}{\rotatebox[origin=rc]{15}{\large\ensuremath{\int}}}}\dot{m}(u+v)d\tau$, что при дифференцировании по $t$ даст просто $-\dot{m}(u+v)$, ну и так далее.

Такой подход куда прозначнее, на мой взгляд, и он очень пригодится, когда надо будет выводить релятивистскую формулу Циолковского.

[Munin]

В релятивистском случае всё проще: "брутто" стартовая масса ракеты не может быть меньше её итоговой энергии, включая кинетическую, вот и всё. Точнее, 4-импульс ракеты плюс 4-импульс выброшенного рабочего тела должны давать в сумме 4-импульс неподвижной ракеты на старте. Для фотонной ракеты вообще всё на пальцах, потому что 4-импульс рабочего тела считается без интегрирования.

[Oleg Zubelevich]

Выделим в пространстве произвольный объем, содержащий вещество. Будем считать, что в момент времени $t$ масса вещества в объеме равна $m(t)$, а импульс вещества в данном объеме составляет $\overline P(t)$. За время $\Delta t$ в объем добавилось некоторое колическтво вещества массы $\Delta m^+$ с импульсом $\Delta m_+\overline v_+$, где $\overline v_+$ -- скорость центра масс добавившегося вещества. Предположим еще, что за тоже время $\Delta t$ объем покинуло вещество массы $\Delta m_-$ с импульсом $\Delta m_-\overline v_-$; при том импульс вещества в данном объеме стал равен $\overline P(t+\Delta t)$.

Переходя к пределу при $\Delta t\to 0$ в теореме об изменении количества движения:

$$\frac{\overline P(t+\Delta t)-\Delta m_+\overline v_++\Delta m_-\overline v_--\overline P(t)}{\Delta t}\sim \overline F,$$

где $\overline F$ -- сумма внешних сил, действующих на все вещество в объеме в момент времени $t$.
Получаем уравнение Мещерского:

$$\frac{d\overline P}{dt}=\overline F_+-\overline F_-+\overline F,\qquad(*)$$

где

$$\overline F_{\pm}=\overline v_{\pm}\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta m_{\pm}}{\Delta t}$$

-- реактивные силы.
Пусть $\overline v$ -- скорость центра масс вещества, находящегося в объеме в момент времени $t$, тогда уравнение Мещерского переписывается в виде

$$\dot m\overline v+m\dot{\overline v}=\overline F_+-\overline F_-+\overline F.$$

Надо отметить, что аналогично выводятся и остальные теоремы динамики системы переменного состава: теорема об изменении момента количества движения, теорема об изменении энергии.

Отметим еще, что выше приведен частный случай уравнения (*) этот частный случай в принципе не позволяет решать ряд задач, доступных для уравнения (*). Например. Через $U-$образную трубку (известного размера) прокачивают жидкость известной плотности и массы, скорость жидкости тоже известна. Найти стлу, которую нужно приложить к трубке чтобы она оставалась в равновесии.