Свойства степенных рядов

[provincialka]

На любом равномерно. Но доказательство разбивается на два случая. Первый -- вот такой, как у вас, полностью входящий в интервал. И другой, который включает в себя граничную точку (если таковая имеется).

Эти случаи доказываются по-разному. Потому что в последнем случае отрезок расположен, вообще говоря, не симметрично.

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961470 писал(а):

Не понимаю что?

А не отвлекайтесь. Вы ведь интересовались равномерностью, да?... -- так для осознания её полезности или бес все эти краевые эффекты совершенно не нужны.

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961470 писал(а):

Что это утверждение верно только для такого ряда, а не для ряда общего вида $\sum\limits_{0}^{\infty}a_n (x-x_0)^$?

Нет, для этого ряда верно другое, хотя и аналогичное, утверждение.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961470 писал(а):

Не понимаю что?

Ровно то, что написано. Вам удалось первый раз более-менее правильно воспроизвести утверждение только здесь post961463.html#p961463

[provincialka]

Я вообще сначала не так поняла причину недоумения, из-за квадратных скобок. А оказывается, Nurzery[Rhymes] не знает, зачем сходимость именно равномерная? Или не так?

[Otta]

ewert
А Вы уверены, что ТС интересуется именно полезностью равномерности?
У меня сложилось впечатление, что из-за неверного понимания формулировки, у него сложилось впечатление излишней надуманности доказательства. Короче, ему показалось, что все проще. Не проще.

Проще получилось потому, что настоящее утверждение подменялось более простым.

Короче, требуется заслушать докладчика.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #961479 писал(а):

Я вообще сначала не так поняла причину недоумения, из-за квадратных скобок. А оказывается, Nurzery[Rhymes] не знает, зачем сходимость именно равномерная? Или не так?

Не понимал, зачем усложнять доказательство, если очевидно, что если ряд равномерно сходится на интервале $(-R;R)$, то он равномерно сходится и на любом отрезке $[-R+\varepsilon; R-\delta]$. Но там вообще не говорится, что на $(-R; R)$ сходимость равномерная. Там просто сходимость.

[ewert]

Otta в сообщении #961480 писал(а):

А Вы уверены, что ТС интересуется именно полезностью равномерности?

Ну, во всяком случае, в стартовом посте открытым текстом ставился вопрос именно этот -- и никакой иной.

(Оффтоп)

у меня есть дурная привычка -- пытаться понять именно смысл текста

[provincialka]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #961482 писал(а):

у меня есть дурная привычка -- пытаться понять именно смысл текста

Действительно, не всегда срабатывает! Как в слове "Оптека" -- где ошибка?

[Otta]

ewert

(Оффтоп)

Вы не видели сам процесс...

-- 13.01.2015, 22:18 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961481 писал(а):

Но там вообще не говорится, что на $(-R; R)$ сходимость равномерная. Там просто сходимость.

Вот именно.

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961481 писал(а):

Но там вообще не говорится, что на $(-R; R)$ сходимость равномерная.

Естественно, не говорится: её там, вообще говоря, и нет (и даже как правило нет).

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961481 писал(а):

Не понимал, зачем усложнять доказательство,

Это не усложнение д-ва, а всего лишь расширение формулировки. Да, сходимость мы доказали; но почему бы в качестве бонуса не получить и ещё чего -- тем более что это даётся в руки практически даром?...

-- Вт янв 13, 2015 21:22:21 --

(Оффтоп)

Otta в сообщении #961484 писал(а):

Вы не видели сам процесс...

Я всё видел. Но не углядел ничего содержательного с точки зрения стартового поста. Кроме запудривания мозгов, конечно.

[Nurzery[Rhymes]]

Цель этой теоремы в том, чтобы показать, что равномерную сходимость на концах интервала надо доказывать отдельно, потому что внутри интервала сходимости ряд гарантированно сходится равномерно?

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961491 писал(а):

Цель этой теоремы в том, чтобы показать, что равномерную сходимость на концах интервала надо доказывать отдельно,

Цель какой теоремы-то?...

Стандартной -- естественно, нет. Стандартную теорему поведение на краях ни разу не шевелит.

(Оффтоп)

Нет, Ваши мозги тут и впрямь вполне успешно за.

[Nurzery[Rhymes]]

Тогда причем здесь это?

provincialka в сообщении #961433 писал(а):

Это полезная теорема, когда надо исследовать поведение ряда на конце области сходимости.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes]
Хм... спорная формулировка. Просто теорема для $[-r,r]$ доказывает что-то именно для $[-r,r]$, а не для какого-то другого промежутка.

Это все равно что сказать: "Цель теоремы Пифагора показать, что теорему косинусов надо доказывать отдельно"

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961497 писал(а):

Тогда причем здесь это?

А это -- типо отвлекающий маневр. Как любит говорить тов. Венедиктов: "петляем, братцы, петляем".