Диофантово уравнение 4-й степени

[nnosipov]

Угу, всё окей. Вот последний пример из этой серии:

$$ y^4-4y^2x^2+4x^4-2y^2-x-y=0. $$

Кажется, здесь должно быть поинтересней.

[ИСН]

Ну дак это идейно то же самое.

$$(y^2-2x^2-1)^2 = 4x^2+x+y+1$$

Чтобы это было квадратом, $y\geq3x$, ну и понеслась душа по трубам.

[grizzly]

Хорошо знать теорию диофантовых уравнений. Я никогда не решал таких уравнений (кроме совсем детских), поэтому использовал здесь только рабоче-крестьянские методы безо всякой надежды на успех. Но несколько часов жонглирования буквами таки привели к противоречию чётности.

Заметим, что $4x^4-x$ делится на $y$. Запишем в натуральных: $x(4x^3-1)=mxy$. Имеем:

$$ y^4-4y^2x^2-2y^2-y+mxy=0. $$

Откуда $(mx-1)$ делится на $y$ (то есть $mx-1=sy$). Тогда

$$ y^2-4x^2+s-2=0;\quad \quad mx-1=sy; \quad my=4x^3-1; \qquad (A) $$

Всякие линейные комбинации с учётом последних двух уравнений дают:

$$ (m-s)(x+y)=x(4x^2-s);\quad y(m-s)=x(4x^2-m); \qquad (B) $$

Заметим, что $m-s$ делится на $x$. Пусть в натуральных $m-s=kx$. Домножая второе равенство в (A) на $m$, а последнее -- на $s$, получим:

$$ m^2=4x^2s+k; \quad k^2x^2+2kxs+s^2=4x^2s+k; \quad s^2+2(kx-2x^2)s+k^2x^2-k=0; $$

Последнее уравнение -- выделенное квадратное уравнение относительно $s$. Его дискриминант равен

$$ D=4x^4-4x^3k+k; $$

Из него должен извлекаться корень, следовательно, $k$ кратно 4. С другой стороны, первое уравнение в (B) даёт:

$$ kx(x+y)=x(4x^2-s); \qquad k(x+y)=4x^2-s $$

Подставляя последнее в первое уравнение (A), получим:

$$ y^2-k(x+y)-2=0, $$

где $k$ кратно 4, что невозможно в силу разной чётности.

-- 13.01.2015, 01:52 --

Нужно было в начале сказать, что я, не уменьшая общности, рассматриваю только взаимно-простые $x$ и $y$.

[grizzly]

grizzly в сообщении #960922 писал(а):

Нужно было в начале сказать, что я, не уменьшая общности, рассматриваю только взаимно-простые $x$ и $y$.

Насчёт "не уменьшая общности" это я загнул. Судя по всему, в подобных уравнениях нет оснований считать переменные взаимно-простыми. Тогда я решил только какой-то частный случай -- для взаимно-простых $x$ и $y$. А жаль -- было интересно :)

[nnosipov]

ИСН в сообщении #960908 писал(а):

Ну дак это идейно то же самое.

Теперь вижу, спасибо. Я немного по-другому смотрю на эти вещи, поэтому ...

grizzly, спасибо за внимание, такой большой текст. К сожалению, тут совсем другие идеи, "стандартная" теория чисел здесь практически отсутствует, а вместо неё алгебра и математический анализ. Взаимная простота неизвестных --- почти всегда искусственное ограничение. В данном случае оно не помогает (не вижу, как ею здесь попользоваться с успехом). Хотя есть вот такой хороший пример обратного: уравнение $2(x^3-x)=y^3-y$ можно решить элементарными методами во взаимно простых числах (а без этого условия --- только неэлементарно). Попробуйте, это может быть интересно (мы такими задачами здесь на форуме пару лет назад развлекались, сейчас уже несколько приелось).

Возвращаясь к тексту: вот это место

grizzly в сообщении #960922 писал(а):

Но несколько часов жонглирования буквами таки привели к противоречию чётности.

меня сразу смутило. Так обычно не бывает, когда уравнение разрешимо в целых числах. Кстати, оно оказалось разрешимым и во взаимно простых числах --- $(0,-1)$ и $(4,-5)$. Ошибка нашлась вот здесь:

grizzly в сообщении #960922 писал(а):

Его дискриминант равен

$$ D=4x^4-4x^3k+k; $$

Из него должен извлекаться корень, следовательно, $k$ кратно 4.

Не обязательно, $k$ может быть нечётным. Например, при $x=1$ и $k=1$ получим $D=1$.

[grizzly]

nnosipov
Большое спасибо за проверку моего наивного "решения". И особенно за поимку ошибки. Я был ослеплён успехами первых преобразований, которые существенно упростили (на мой вчерашний взгляд) уравнение. И тут же сошёл на типичный для любого жонглёра-ферматиста путь -- допустил тривиальную ошибку, тщательно проверяя всё вокруг, кроме неё. Ну а безопытная в предмете интуиция не подсказала окончательную проверку на правдоподобность (подобно Вашим выводам).

[ИСН]

ИСН в сообщении #960908 писал(а):

Чтобы это было квадратом, $y\geq3x$, ну и понеслась душа по трубам.

Ах да, ну или $y$ отрицателен, но там тоже легко.

[nnosipov]

Да, там всё доделывается как надо.

[grizzly]

nnosipov
Ниже мой вариант решения для случая взаимно простых. Он немного искусственный, но в такой простой задаче увидеть его несложно. Этот ли элементарный способ Вы подразумевали, или есть более естественная идея? Заранее благодарен за ответ.

nnosipov в сообщении #961060 писал(а):

$2(x^3-x)=y^3-y$

Оставим за скобками очевидные случаи, когда $x,y\in \{-1,0,1\}$. Ниже все числа подразумеваются целыми.
Рассмотрим случай $x\geq 2$ (остальные решения, очевидно, симметричны относительно 0). Тогда $x<y<2x$; пусть $y=2x-k$, $(x,k)=1$.
Подставляя в уравнение, получим: $2x^3-2x=8x^3-12x^2k+6xk^2-k^3-2x+k$. После приведения подобных имеем: $0=6x^3-12x^2k+6xk^2-k^3+k$, и из $(x,k)=1$ следует, что достаточно рассмотреть $k$ -- делители 6 (очевидно, только нечётные делители). Далее решаем несколько уравнений простым перебором небольшого количества значений $(x,y)$. Кроме тривиальных (оставленных нами за скобками) находим ещё только одно решение: $x=4, y=5$.

[nnosipov]

grizzly, на этот раз безупречно , это один из возможных подходов, немного искусственный, да. Вам он кажется очевидным, но вот я его в своё время совершенно не заметил :). Задача, кстати, с городского тура СПбургской олимпиады школьников 2005 года (см. задачу 05.59 в книге Петербургские олимпиады школьников по математике. Спб.: Невский диалект; БХВ-Петербург, 2006). Вы придумали решение №1, а решение №2 (там сплошные оценки и почти нет теории чисел) можно найти в той же книге. Я вообще пошёл кружным путём --- свёл задачу к уравнению 4-й степени (типа тех, что в этой теме обсуждаются), которое удалось решить. Это мне показалось естественным: действительно, $y^2-1$ должно делиться на $x$, запишем $y^2-1=kx$ и затем исключим $y$; получится как раз уравнение 4-й степени относительно $x$ и $k$, его и будем решать.

[grizzly]

nnosipov
Спасибо! А я попробовал сначала $y=x+k$ и сразу заметил, что не хватило только немного, чтоб избавиться от члена с $x$; а со второй попытки уже получилось.

(Оффтоп)

Тема понравилась, начну понемногу самообразовываться на приевшихся здесь ранее темах :) Может, со временем подключусь к профессиональным обсуждениям.