Вопрос об интеграле Лебега.

[CptPwnage]

Есть ли какое-то особое определение интеграла Лебега не по мере,а по заряду? Или точно такое же? Просто если заряд дискретный например на действительных числах,
то интегралом будет сумма ряда который не факт, что сходится абсолютно и зависит от порядка слагаемых..

[ewert]

CptPwnage в сообщении #570472 писал(а):

интегралом будет сумма ряда который не факт, что сходится абсолютно и зависит от порядка слагаемых..

Обычный интеграл Лебега тоже не факт что сходится. Поэтому под суммируемыми по Лебегу функциями и принято понимать абсолютно суммируемые, т.е. такие, для которых конечен интеграл от модуля.

[CptPwnage]

Да, но в случае с зарядом есть множества с отрицательной мерой, и даже для положительной функции будут отрицательные слагаемые. Или заряд тоже тогда надо брать по модулю?

[zrz]

Тема хоть и старая, но у меня похожий вопрос, и посмотрев литературу я ответа с ходу не нашел.
Как (и можно ли) вообще определить интеграл Лебега по заряду.
Мне в голову пришла только одна конструкция:

1) воспользовавшись разложением Хана выделить положительное $(A)$ и отрицательное $(B)$ не пересекающиеся множества, составляющие в объединении все пространство
2) Представить интегрируемую функцию $F$ как сумму двух функций. $F_1=F\mathbb{I}(A)$ и $F_2=F\mathbb{I}(B)$, где $\mathbb{I}$ - индикаторная функция.
3) Для указанных функций строится стандартная конструкция интеграла Лебега, с той лишь разницей, что для $F_2$ мера отрицательная.
4) Итоговый результат $\int F d\nu=\int F_1 d\nu+\int F_2 d\nu$

На вид все логично, но почему так никто не делает в учебниках?

PS естественно может не сходится, как писали ранее, но никакой зависимости от порядка слагаемых нет.

[Red_Herring]

Согласно определению лебеговского интеграла (по неотрицательной ли мере, по индефинитному же заряду) он сходится т. и т.т. когда он абсолютно сходится.

zrz в сообщении #960146 писал(а):

На вид все логично, но почему так никто не делает в учебниках?

Ну просто потому что надо сначала изучить неотрицательные меры (чтобы сказать, что любое подмножество множества меры 0 тоже имеет меру 0). А дальше все не принципиально