На счет точных границ числовых множеств

[fronnya]

Всякое ли не пустое множество имеет точную верхнюю и нижнюю границу ? При условии, что ими могут выступать $\pm \infty$ соответственно.
Я думал так:
чтобы множество имело точную,например, верхнюю границу, оно обязательно должно быть не пустым и ограничено сверху. Если оно не ограничено, что говорят, что точная верхняя граница это плюс бесконечность для такого множества. А вот что такое плюс бесконечность? Это ведь что- то не вполне определенное. Мне кажется, что когда говорят, что точная верхняя граница- это бесконечность, при условии, что множество не ограничено- это просто условность.
Может, я не прав и вопрос сам себя уточняет, оттого ответ на него- "да, всякое" ?

[Brukvalub]

fronnya в сообщении #959911 писал(а):

Всякое ли не пустое множество имеет точную верхнюю и нижнюю границу ? При условии, что ими могут выступать $\pm \infty$ соответственно.
Я думал так:
чтобы множество имело точную,например, верхнюю границу, оно обязательно должно быть не пустым и ограничено сверху. Если оно не ограничено, что говорят, что точная верхняя граница это плюс бесконечность для такого множества. А вот что такое плюс бесконечность? Это ведь что- то не вполне определенное. Мне кажется, что когда говорят, что точная верхняя граница- это бесконечность, при условии, что множество не ограничено- это просто условность.
Может, я не прав и вопрос сам себя уточняет, оттого ответ на него- "да, всякое" ?

Прежде всего, про какие множества идет речь? Например, какую верхнюю границу имеет множество съеденных мной огурцов?

[мат-ламер]

fronnya в сообщении #959911 писал(а):

Всякое ли не пустое множество имеет точную верхнюю и нижнюю границу ?

Рассмотрим множество рациональных чисел. Рассмотрим там подмножество чисел, квадрат которых меньше двух. Определите для этого подмножество верхнюю грань.
(Извиняюсь, тут уже появилась подсказка).

[fronnya]

Brukvalub в сообщении #959917 писал(а):

Прежде всего, про какие множества идет речь?

Может, я не понимаю чего. Я хотел бы получить ответ на мой вопрос в самом общем случае для числовых множеств, т.е. если встречается хоть один случай при котором не выполняется то, что я написал, то ответ сразу же "нет".

-- 11.01.2015, 12:26 --

мат-ламер в сообщении #959919 писал(а):

fronnya в сообщении #959911 писал(а):

Всякое ли не пустое множество имеет точную верхнюю и нижнюю границу ?

Рассмотрим множество рациональных чисел. Рассмотрим там подмножество чисел, квадрат которых меньше двух. Определите для этого подмножество верхнюю грань.
(Извиняюсь, тут уже появилась подсказка).

Точная верхняя граница- 2 ?

[Atom001]

fronnya в сообщении #959922 писал(а):

Точная верхняя граница- 2 ?

Разве корень из двух это рациональное число?

[provincialka]

fronnya
Вам намекают следующее: важно, что считать "числами". В множестве $\mathbb Q$ точной верхней границы может и не быть, как в примере мат-ламер (она там по сути равна $\sqrt2$)

[fronnya]

provincialka в сообщении #959930 писал(а):

fronnya
Вам намекают следующее: важно, что считать "числами". В множестве $\mathbb Q$ точной верхней границы может и не быть, как в примере мат-ламер (она там по сути равна $\sqrt2$)

Ааа, так значит ответ на мой вопрос- "нет".

[Aritaborian]

Да.

[Red_Herring]

(fronnya)

А в каком банке открыли свой счёт точные границы числовых множеств?

[мат-ламер]

fronnya в сообщении #959933 писал(а):

Ааа, так значит ответ на мой вопрос- "нет".

Вам намекают на то, что ответ зависит от того, с какими числовыми множествами мы работаем. Если с только с рациональными, то ответ один, если с действительными, то ответ другой.

[Nemiroff]

fronnya в сообщении #959911 писал(а):

Всякое ли не пустое множество имеет точную верхнюю и нижнюю границу ?

Между прочим.
Рассмотрим множество $A$, на котором

определены две бинарные операции $+: A \times A \to A$ и $\cdot: A \times A \to A$ и верно, что:
$1.1\quad\forall a,b\in A \quad a+b=b+a,$
$1.2\quad\forall a,b,c\in A \quad (a+b)+c=a+(b+c),$
$1.3\quad\exists 0\in A \;\forall a\in A \quad a+0=a,$
$1.4\quad\forall a\in A \;\exists (-a)\in A \quad a+(-a)=0,$
$1.5\quad\forall a,b\in A \quad a\cdot b=b\cdot a,$
$1.6\quad\forall a,b,c\in A \quad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c),$
$1.7\quad\exists 1\in A \;\forall a\in A \quad a\cdot 1=a,$
$1.8\quad 1\neq 0,$
$1.9\quad\forall a\in A \quad(a\neq 0 \Rightarrow \exists (\frac{1}{a})\in A \quad a\cdot(\frac{1}{a})=1),$
$1.10\quad \forall a,b,c\in A \quad (a+b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c;$

определено отношение $\leqslant$ и верно, что:
$2.1\quad\forall a\in A \quad a \leqslant a,$
$2.2\quad\forall a, b \in A \quad (a \leqslant b) \wedge (b \leqslant a) \Rightarrow (a = b),$
$2.3\quad\forall a,b,c\in A \quad (a \leqslant b) \wedge (b \leqslant c) \Rightarrow (a \leqslant c),$
$2.4\quad\forall a, b \in A \quad (a \leqslant b) \vee (b \leqslant a),$
$2.5\quad\forall a,b,c\in A \quad (a \leqslant b) \Rightarrow (a + c \leqslant b + c),$
$2.6\quad\forall a, b \in A \quad (0 \leqslant a) \wedge (0 \leqslant b)\Rightarrow (0 \leqslant a \cdot b).$

Ну вот. Получили что-то, что выглядит как числа. При этом вещественными числами множество $A$ не является (не обязательно). Множество рациональных чисел, к примеру, удовлетворяет всем свойствам.
Добавим определений
$\textbf{Def 1}:$ Верхней гранью множества $X\subset A$ называется $a\in A$ такой, что
$D1\quad \forall x\in X \quad x\leqslant a.$
Если у множества $X$ существует верхняя грань, оно называется ограниченным сверху.
$\textbf{Def 2}:$ Точной верхней гранью множества $X\subset A$ называется $a\in A$ такой, что
$D2.1\quad a$ есть верхняя грань $X$,
$D2.2\quad \forall y\in A \quad(y\;\text{есть верхняя грань}\;X \Rightarrow a\leqslant y).$

Пусть для множества $A$ верно, что:
$3\qquad$ всякое непустое ограниченное сверху подмножество $A$ имеет верхнюю грань.

Тогда $A$ — это множество вещественных чисел. Их так можно определить.

(Оффтоп)

Я вот очень надеюсь, что нигде не ошибся при наборе.

Так что "всякость" множества — фактически, характеризующее свойство для $\mathbb{R}$.