Аксиомы метрики

[provincialka]

Кстати, только что заметила, что неотрицательность доказывается весьма просто. По аналогии с предыдущим советом.

-- 09.01.2015, 20:24 --

Bacon в сообщении #959254 писал(а):

Так нулем я ограничиваю без симметрии по первой аксиоме.

А где в первой аксиоме неотрицательность? При чем тут это?

[Bacon]

provincialka
Вы были правы насчет симметричности, не заметил, что в нестандартной форме дана аксиома треугольника. C такой формой быстрее:
$ r(x,x) \leq r(x,y)+r(x,y) $
$ r(x,x) \leq 2r(x,y) $
$ 0 \leq r(x,y) $
Неотрицательность получили.
Теперь вычитанием легко доказываем симметричность.
Вот и все.

[provincialka]

Bacon в сообщении #959265 писал(а):

Теперь вычитанием легко доказываем симметричность.

Покажите, что из чего вычитаем.

[Bacon]

provincialka
$ r(x,y) \leq r(x,z) + r(y,z) $
$ r(y,x) \leq r(y,z) + r(x,z) $
$ r(x,y) - r(y,x) \leq 0 $
Учитывая неотрицательность:
$ r(x,y) = r(y,x) $

[provincialka]

Нет! 1) Неравенства одного знака нельзя вычитать.
2) А при чем тут неотрицательность?

[Bacon]

provincialka
Да, вы правы, ну тогда ничего не остается как:
Рассмотрим
$ r(x,y) \leq r(x,z) + r(y,z) $
$ r(y,x) \leq r(y,z) + r(x,z) $
В первом неравенстве положим $ z = x $
Во втором неравенстве положим $ z = y $
$ r(x,y) \leq r(y,x) $
$ r(y,x) \leq r(x,y) $
Откуда
$ r(y,x) = r(x,y) $

[provincialka]

Вот теперь верно! Молодец.

[Bacon]

provincialka
Спасибо, за помощь !
Без вас бы точно не разобрался.