2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение09.01.2015, 17:53 
Для p (вероятности успеха) много меньше единицы геометрическое распределение замечательно аппроксимируется непрерывной экспонентой. А есть ли непрерывный аналог или его подобие для p порядка единицы?

 
 
 
 Re: Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение09.01.2015, 18:53 
Аватара пользователя
О каком подобии речь, если с.в. принимает, по существу, одно значение?

 
 
 
 Re: Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение09.01.2015, 19:11 
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%B8%D0%B5
Имеется в виду Функция вероятности:
Изображение

случай, когда p близко к единице, но не равно, естественно.

 
 
 
 Re: Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение09.01.2015, 21:24 
Аватара пользователя
В каком смысле "аппроксимируется"? "Функция" вероятностей - это не непрерывная функция, а набор чисел $pq^n$, $n=0,\,1,\,\ldots\,$. Если хотите, $pq^n=pe^{-n\ln (1/q)}$ независимо от того, далеко $p$ от единицы или близко.

 
 
 
 Re: Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение10.01.2015, 00:33 
$q=p-1$,если $p$ много меньше единицы, то логарифм раскладывается в ряд и имеем $pe^_-pn$. Полагая n непрерывно меняющейся переменной от 0 до бесконечности имеем теперь непрерывную функцию вероятности(экспонентциальную)(она также нормирована на единицу), совпадающую при целых n c дискретной фв(геометрической). А вот если p "близко" от единицы мы такого соответствия при замене n непрерывной величиной не получим, такая непрерывная ф-я от n будет при целых n совпадать с геом.фв, но она не нормирована на единицу, т.е., не является фв и соответственно аналогом геометрического распределения. Я полагал это общеизвестным

 
 
 
 Re: Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение10.01.2015, 01:26 
Аватара пользователя
druggist в сообщении #959365 писал(а):
$q=p-1$,

Ну, почти...

Непонятным остаётся, чего Вы хотите добиться? Какой смысл и какое новое знание в том, что вероятности у целочисленного распределения совпадут со значениями плотности некоторого непрерывного распределения в целых точках? По мне так никакого (никаких).

Любое геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального уже тем, что целая часть случайной величины с показательным распределением с плотностью $\alpha e^{-\alpha x}$ ($x>0$) имеет геометрическое распределение с параметром $p=1-e^{-\alpha}$.

(Оффтоп)

Не говоря уже о том, что все это
druggist в сообщении #959365 писал(а):
то логарифм раскладывается в ряд и имеем $pe^_-pn$.

никакого математического смысла не несёт. Вы при фиксированном $p$ заменяете логарифм на $-p$? Куда остаток делся? Ничего, что при умножении на $n$ он всё больше и больше становится?

 
 
 
 Re: Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение10.01.2015, 01:33 
 !  druggist
Оформляйте термы (одиночные символы). Они сливаются с текстом, особенно в таком количестве. Устное замечание.

 
 
 
 Re: Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение10.01.2015, 02:10 
--mS-- в сообщении #959378 писал(а):
druggist в сообщении #959365 писал(а):
$q=p-1$,

Ну, почти...

...Вы при фиксированном $p$ заменяете логарифм на $-p$? Куда остаток делся? Ничего, что при умножении на $n$ он всё больше и больше становится?[/off]



Да, конечно же, $q=1-p$

Не понял, при малых $p$ имеем $-ln(1/q)=ln(1-p)\approx -p$ и получаем $pe^ _-pn$ в точности экспоненциальное распределение с единственным параметром $p$, ср.:
Плотность вероятности
$\lambda e^_-\lambda t$

Изображение

p.s. Очевидно, если при изменении аргумента на единичку функция относительно мало меняется, то, грубо говоря, "дискретное мало отличается от непрерывного". В случае $p\simeq 1$ при изменении $n$ c $0$ на $1$ это далеко не так.

 
 
 
 Re: Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение10.01.2015, 07:51 
Аватара пользователя
druggist в сообщении #959387 писал(а):
Не понял, при малых $p$ имеем $-\ln(1/q)=\ln(1-p)\approx -p$ и получаем $pe^{-pn}$ в точности экспоненциальное распределение с единственным параметром $p$, ср.:

Что значит "получаем"? Что означает Ваше "примерно"? Скажем, при $p=0,1$ и $n=1000$ величины $-np$ и $n\ln(1-p)$ различаются более чем на $5$, дальше - больше. Соответственно, и $pe^{-pn}$ и $pq^n$ различаются более чем в пять раз, и с дальнейшим ростом $n$ их отношение вообще стремится к бесконечности.

Кроме того, Вы так и не ответили на основной вопрос:
--mS-- в сообщении #959378 писал(а):
Непонятным остаётся, чего Вы хотите добиться? Какой смысл и какое новое знание в том, что вероятности у целочисленного распределения совпадут со значениями плотности некоторого непрерывного распределения в целых точках?


(Оффтоп)

И, пожалуйста, посмотрите в моём сообщении, как следует набирать в $\LaTeX$ логарифм и степень.

 
 
 
 Re: Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение10.01.2015, 11:30 
--mS-- в сообщении #959411 писал(а):
Кроме того, Вы так и не ответили на основной вопрос:

В статфизике, например, дискретная функция вероятности может показывать среднее число или долю от полного числа частиц, в среднем находящихся в ячейке с номером $n$. При некоторых значениях параметра ($p$) распределения мы можем, например, при вычислении полного числа частиц или энергии заменить суммирование интегрированием по $n$, считая $n$ непрерывной величиной, а при других - не можем. Я хотел подчеркнуть это обстоятельство и уточнить, как быть в этом случае.

 
 
 
 Re: Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения
Сообщение10.01.2015, 16:38 
Аватара пользователя
Можем заменить там, где ошибка этой операции меньше, чем ее результат. Если не можете заменить в лоб, надо смотреть асимптотику суммы. Вряд ли тут есть универсальный рецепт, поэтому будет больше толку, если Вы приведете здесь Вашу задачу.

-- 10.01.2015, 16:39 --

Вообще говоря, это чисто аналитическая задача и вероятность тут ни при чем.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group