Московская математическая олимпиада, 1987, 7 класс #7

[Deggial]

Red_Herring в сообщении #958730 писал(а):

1987=993+994, ... 994:40 = 25 ... 994=993+1

Red_Herring, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[grizzly]

Про #2 я подумал, что совсем очевидно. Но лучше скажу прямо, чтоб никому не парить мозги. Вот наихудший для него расклад:
#1, пытаясь максимально испортить жизнь для #2, отодвигает в сторону 52 монеты.
Тогда #2 делит оставшиеся на 940 и 994. И при любых раскладах он свои 53 зарабатывает.

-- 08.01.2015, 21:46 --

Кстати, и здесь Али-Бабу умные люди не обидели :) Кто бы мог подумать сразу, что такими окажутся выигрышные стратегии?

[lyuk]

А если первый поделит на 994 и 993, а все после второго -- будут ковырять ту же кучку, что и второй. То есть, задача сводится к 40 кучкам и 994 монетам.

[gris]

grizzly, ну как же так? $1987=52+20\cdot 47(940)+13\cdot50+7\cdot49 (995)$
Последнему не обязательно 1 монету отделять. И второй обеспечит только 50.

[grizzly]

gris в сообщении #958771 писал(а):

grizzly, ну как же так?

Тысяча извинений! Совсем мозги поплыли к вечеру. Я сбился в том, что кучек на 1 больше, чем разбойников. Значит, и с #1 напортачил.

Идейно всё верно, конечно. Сейчас формулы ещё раз пересчитаю.

-- 08.01.2015, 22:29 --

Спасибо, gris!

[Red_Herring]

Чтобы напакостить #2, #1 должен кооперироваться с #3 и т.д. Для этого он отделяет 25. Тогда если #2 как-то разделит оставшиеся 1962, то остальные разбойники разгромят меньшую кучку, оставив большую #1. Поэтому #2 делит 1962 пополам, получая 981. Тогда 38 разбойников разносят 981 по 39 кучкам, … опять 26.

Если #1 отделяет 50, то остается 1937, которые #2 делит пополам, то #3 громит кучку из 50, а остальные разносят 969 на 38 кучек,… опять 26

В общем, 26 для #2 в условиях вселенского заговора против него

Deggial в сообщении #958739 писал(а):

Red_Herring, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

И на старуху бывает проруха!

Народно-блатная писал(а):

Хоть был я хулиганом,
Да дрался без ножа!

[lyuk]

Вот не пойму, зачем первому, чтобы напакостить второму, отделять 26 или 50? Ему надо пополам делить, а всем остальным -- работать с кучкой, которую будет делить второй.

А зачем еще второму делить пополам? Это наверное, чтоб себе напакостить.

[grizzly]

Red_Herring
Вы абсолютно правы. На этот раз я совсем сплоховал.

-- 08.01.2015, 22:55 --

lyuk в сообщении #958799 писал(а):

Ему надо пополам делить, а всем остальным -- работать с кучкой, которую будет делить второй.

Без разницы. Второй отложит одну монетку и опять 993 будет делиться на 39.

[gris]

... Не удалось второму обеспечить 49...

[Red_Herring]

lyuk в сообщении #958799 писал(а):

Вот не пойму, зачем первому, чтобы напакостить второму, отделять 26 или 50?

Не 26, а 25. Это вариант, который также надо рассмотреть. Потому что вопрос: сможет ли #1 в кооперации с #3, …, #40 лишить #2 возможности заработать 26 монет.

Если #1 отделит 50, и #2 отделит 50, то #3, #4 разобьют их пополам, а все остальные отделят кучки по 1, и #2 достанется только 25

-- 08.01.2015, 14:15 --

В общем,
в условиях Вселенского Заговора против #1 ему всё-таки 50 гарантировано (а 51 нет),
в условиях Вселенского Заговора против #2 ему всё-таки 26 гарантировано (а 27 нет),
в условиях Вселенского Заговора против #$k$ ($k=3,\ldots ,41$, где #41—Али-Баба) ему достанется 1.

[lyuk]

Для того, чтобы второй не взял 26, нужно, чтобы первый взял больше, чем 986. Поэтому второму, если есть одна большая куча, надо ее делить пополам.

[gris]

Да, плохое воспитательное значение имеет задача. Или, наоборот, хорошее? Что не надо против себя коллектив восстанавливать. Однако, альфа и бета по-любому на плаву. Самое пакостное, что первому выгоднее всего сказать: ребята, главное третьему жизни не дать. Он предатель. Тогда первый максимум загребёт. Это же не задача, а диверсия идеологическая

[Red_Herring]

gris в сообщении #958851 писал(а):

ребята, главное третьему жизни не дать.

Не Третьему, а Второму.

[gris]

Ну второй же свои 25 получит, а то и больше, если кто-то жадничать начнёт.
Позвольте после драки ручками помахать.(Всю ночь какие-то экзамены по алгебре снились, да ведь не поверит никто).
Эта схема вполне пригодна для принуждения к стратегии сотрудничества. Каково самое уравнительное распределение? Первый определяет долю Али-Бабы и откладывает её. Последующие отделяют равные доли. То есть, например, $27+40\cdot 49$. Ну разве для незначительного поощрения первых уменьшить долю Али-Бабы до 1.
Вот первый отложил 1 и ждёт. Что делать второму? Он может сразу определить долю последнего в 1 и тем самым понадеятся, что остальные, кроме последнего, согласятся на увеличение доли на 1 монетку. Но последний может в этом случае отомстить ближнему своему — предпоследнему. На последнем шаге отделит 1 монетку. А тот, зная характер последнего, — заранее предпредпоследнему. И эта лавина мести докатится до второго. И получит он единственную монетку. То есть ему ничего не остаётся делать, как отложить по справедливости 50 монет. Ну и так далее. Третий тоже может обидеть последнего, но рискует рикошетом получить сам. То есть каждый участник, видя, что предыдущие хотят поделить поровну, вынужден продолжать делить поровну, иначе последующие могут наказать его.