Теорема Римана

[Terraniux]

В качестве задачи для 11 класса/1 курс можно рассмотреть такую.

Пусть $\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n,\ z_n\in \mathbb{C}$ - условно сходящийся ряд.
Докажите, что множество сумм рядов, полученных перестановками членов $\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n$ является либо точкой, либо прямой, либо комплексной плоскостью.

[gris]

Аффинностью пахнуло. Но не на первом же курсе.

[Null]

Пусть у нас вектора $\vec{s_i}$.
Получается надо доказать что если для любой прямой $l$ сумма проекций этих векторов на эту прямую не сходиться абсолютно, то для любого вектора $\vec{r}$ можно переставить вектора так, что их сумма будет сходиться к $\vec{r}$

[ex-math]

Разве точка может быть?
Ведь если рассмотреть ряды из вещественных и мнимых частей, то по крайней мере один из них сходится условно.
Как получить прямую -- понятно. Умножим весь ряд на $e^{i\theta}$ и снова рассмотрим вещественную и мнимую части отдельно. Если при каком-то $\theta$ один из рядов сходится абсолютно, получим прямую.

[Null]

Ну точка будет если ряд абсолютно сходиться. Является ли он условно сходящимся - вопрос терминологии.

[ex-math]

Обычно абсолютно сходящиеся ряды условно сходящимися не называют.
Нам надо показать, что при каком-то $\theta$ в каждом квадранте будет бесконечно много точек $e^{i\theta}z_n$. Тогда пройдет обычное доказательство теоремы Римана.

-- 06.01.2015, 16:13 --

А это не всегда так, похоже. Взять, например, $z_n=(-1)^n(1/\sqrt n+i/n)$. Как ни крути, а в каждый квадрант не запихнешь. Неужели тут тоже вся плоскость перестановками получится?

[Null]

Это может пригодиться.(Решение похожей задачи на problems.ru)

[Terraniux]

Null в сообщении #957554 писал(а):

Это может пригодиться.(Решение похожей задачи на problems.ru)

Кстати, была такая задача.