Ещё предел [4]

[fronnya]

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\frac{a_1 x+b_1}{a_2 x+b_2}\right)^x, a_i>0$. Правило Лопиталя лишь все усложняет, как здесь поступить ?

[provincialka]

Тут могут быть разные случаи. В том числе и без неопределенности.

[Brukvalub]

Рассмотреть сначала, каков предел основания, написать ответ в случаях, когда нет неопределенности, затем стандартно разобраться со случаем, когда возникает неопределенность.

[Pphantom]

Стандартный для подобных штук прием: вспомнить, что $p^q = e^{q \, \ln p}$.

[Terraniux]

$0; +\infty$; второй замечательный предел.

[fronnya]

Brukvalub в сообщении #957493 писал(а):

Рассмотреть сначала, каков предел основания, написать ответ в случаях, когда нет неопределенности, затем стандартно разобраться со случаем, когда возникает неопределенность.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{a_1 x+b_1}{a_2 x+b_2}=\frac{a_1}{a_2}$ Может как- то можно привести ко второму замечательному?

[Brukvalub]

fronnya в сообщении #957498 писал(а):

Brukvalub в сообщении #957493 писал(а):

Рассмотреть сначала, каков предел основания, написать ответ в случаях, когда нет неопределенности, затем стандартно разобраться со случаем, когда возникает неопределенность.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{a_1 x+b_1}{a_2 x+b_2}=\frac{a_1}{a_2}$ И что с того ?

С того деду смартфон, а старушке - очки!

[Terraniux]

fronnya в сообщении #957498 писал(а):

Brukvalub в сообщении #957493 писал(а):

Рассмотреть сначала, каков предел основания, написать ответ в случаях, когда нет неопределенности, затем стандартно разобраться со случаем, когда возникает неопределенность.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{a_1 x+b_1}{a_2 x+b_2}=\frac{a_1}{a_2}$ И что с того ?

Если $a_1/a_2 <1$, то что? Если $a_1/a_2>1$? А если $a_1/a_2=1$?

[fronnya]

Terraniux в сообщении #957504 писал(а):

fronnya в сообщении #957498 писал(а):

Brukvalub в сообщении #957493 писал(а):

Рассмотреть сначала, каков предел основания, написать ответ в случаях, когда нет неопределенности, затем стандартно разобраться со случаем, когда возникает неопределенность.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{a_1 x+b_1}{a_2 x+b_2}=\frac{a_1}{a_2}$ И что с того ?

Если $a_1/a_2 <1$, то что? Если $a_1/a_2>1$? А если $a_1/a_2=1$?

Тогда предел основания:
1)$0$
2)$\infty$
3)$1$?

[Terraniux]

fronnya в сообщении #957508 писал(а):

3)$1$?

Terraniux в сообщении #957496 писал(а):

второй замечательный предел.

Остальное верно.

[fronnya]

Terraniux в сообщении #957512 писал(а):

fronnya в сообщении #957508 писал(а):

3)$1$?

Terraniux в сообщении #957496 писал(а):

второй замечательный предел.

Остальное верно.

хорошо, а что дальше- то?

[provincialka]

fronnya
Чуть-чуть сами подумайте, а? Вы про второй замечательный предел слышали? Про его применение к раскрытию неопределенности $1^\infty$

[Terraniux]

fronnya в сообщении #957514 писал(а):

хорошо, а что дальше- то?

Второй замечательный предел Вам известен? $\lim\limits_{t\to 0}(1+\alpha t)^{1/t}$ знаете чему равен?
Вообще, какие средства Вам доступны?

[maxmatem]

fronnya
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$

Дальше идет достаточно простая процедура, рассмотрите выражение в скобках выделите целую часть......

[Brukvalub]

Есть стандартная схема: если f$(x)\to 1, g(x)\to \infty$ ,то $f(x)^{g(x)}\to e^a$ , где $a=\lim g(x)(f(x)-1)$. Разумеется, все происходит на одной и той же базе, и последний предел должен существовать, а иначе...