вопросы(возможно элементарные ..?) по листу Мебиуса

[maxmatem]

Вопросы.

1. Рассмотрим $M^{2}$- Лист Мебиуса. Может ли плоскость $R^{2}$ локально диффеоморфно накрывать $M^{2}$ ?

Я думаю, что нет.....вот скажем с тором можно было такую штуку провернуть, но это в силу того что $T^{2}=R^{2} / 2\pi Z^{2}$

2.Можно ли ввести такое понятие как дифференциальное уравнение на $M^{2}$ ?

Я не знаю как это сделать....Вот на торе делают так $\dot z=\omega(z)$, где$z\in T^{2}$,

3. И наверное самое главное это как понимать векторое поле на $M^{2} ? $

Опять же на торе это более менее ясно , $\dot x=\alpha$ и $\dot y=\beta$ где $\alpha=\operatorname{const}$ ,$\beta=\operatorname{const}$

[Munin]

А что вам наивная интуиция говорит по этим поводам? Можно ли, например, скрутить из бумаги полоску Мёбиуса, и разрисовать её стрелочками?

[maxmatem]

Munin
Интуитивно то можно, взял и нарисовал, а как аналитически задать векторное поле?

Меня смущает что на торах эти динамические системы в прямом смысле заездили, изучали и переизучали да и еще изучают, а вот скажем на листе мебиуса их почему то не изучали.....я нигде не нашел этих исследований...

Вот и интересно почему их не исследовали.....

[Munin]

maxmatem в сообщении #957233 писал(а):

Интуитивно то можно, взял и нарисовал, а как аналитически задать векторное поле?

А аналитически - это как, формулой? Ну, для этого можно ввести какие-то системы координат, и т. д...

maxmatem в сообщении #957233 писал(а):

Меня смущает что на торах эти динамические системы в прямом смысле заездили, изучали и переизучали да и еще изучают, а вот скажем на листе мебиуса их почему то не изучали.....я нигде не нашел этих исследований...

Вот и интересно почему их не исследовали.....

А всё очень просто. Лист Мёбиуса - многообразие с краем. Что происходит с точкой после того, как она к краю подходит, и с него сваливается? :-)

На самом деле, тор - это просто очень хорошая модель. Слишком хорошая. А все фантазии на сходную тему, например, бутылка Клейна, резко намного менее хорошие. Ну и спрашивается, зачем мучаться? Хорошая - это значит: очень простая, и годящаяся как модельное приближение в очень широком диапазоне более реалистичных случаев.

Так что ваш вопрос примерно такого типа: почему квадратичные формы изучают подробней некуда, а кубические, скажем, уже игнорируют? Да потому что, например, особая точка гладкой функции в общем положении - это квадратичная форма и есть. А вот кубическая там возникнет только при очень большом везении.

-- 06.01.2015 14:24:20 --

1. Предлагаю строить накрытие в два этапа: сначала накрыть плоскостью бесконечную ленточку $I\times R,$ а потом ею - лист Мёбиуса в бесконечное число слоёв.

[dsge]

maxmatem в сообщении #957233 писал(а):

Меня смущает что на торах эти динамические системы в прямом смысле заездили, изучали и переизучали да и еще изучают,

Потому, что это имеет отношение к задачам классической механики и важно с прикладной точки зрения. А на листе Мебиуса вряд ли найдётся какое-нибудь приложение.

[maxmatem]

Munin
Ясно.......только я лист мебиуса представлял следующим образом, как квадрат ${(u;v): 0\le u \le 2\pi ; 0\le v \le 2\pi }$ причем введено следующее соответствие

$$ (u;v)\to (u+2\pi;2\pi-v)$$

[Munin]

maxmatem в сообщении #957245 писал(а):

только я лист мебиуса представлял следующим образом, как квадрат ${(u;v): 0\le u \le 2\pi ; 0\le v \le 2\pi }$ причем введено следующее соответствие

$$ (u;v)\to (u+2\pi;2\pi-v)$$

Можно, но имхо стоит представлять себе его и так и так, и помнить и понимать соответствие одного другому.

dsge в сообщении #957244 писал(а):

А на листе Мебиуса вряд ли найдётся какое-нибудь приложение.

Кахврится, не зарекайтесь :-) Найдут какие-нибудь странные аттракторы, перекрученные именно в форме его, родимого, и чо делать будем?

[maxmatem]

Munin
Вот я пытыюсь найти в нем что нибудь эдакое.... но пока не очень выходит.

Хотелось бы конечно какую нибудь физику на нем устроить и тогда бы дифуры самим собой вышли бы на нем ....

[Brukvalub]

Странная идея - подгонять физику под абстрактную мат. модель. Обычно сначала изучают Природу, а уже потом описывают изученное, строя модели. А наоборот делал Прокруст: сначала сварганил койку, а потом искал, кто на нее ловко ляжет.

[Munin]

В физике так не бывает. Там не берут матмодель, и на заказ на ней физику. Там наоборот, берут из жизни физику, а к ней уже приходится цеплять матмодели, какие подходят.

-- 06.01.2015 18:43:06 --

В принципе, если мне не мерещится, что-то похожее на лист Мёбиуса может всплыть в спинах.

[dsge]

Munin в сообщении #957436 писал(а):

В физике так не бывает. Там не берут матмодель, и на заказ на ней физику. Там наоборот, берут из жизни физику, а к ней уже приходится цеплять матмодели, какие подходят.

Торы, вроде, сначала возникли в небесной механике (Пуанкаре или Якоби), а уж потом возникли топология и топологи, которые стали их мусолить.

[Munin]

Ну знаете! Торы впервые возникли в хлебопекарном деле. Я точно не уверен, то ли в Германии в Средние века, то ли ещё в Древнем Риме - но то, что задолго до Пуанкаре и Якоби, это несомненно.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

dsge в сообщении #957452 писал(а):

...
Торы, вроде, сначала возникли в небесной механике (Пуанкаре или Якоби), а уж потом возникли топология и топологи, которые стали их мусолить.

Тор сначала был один, и он был Богом (см. соответствующий фильм), а потом возникли пекари, и они пекли бублики, в просторечии называемые торами. Так что Пуанкаре и Якоби были далеко не первыми...

[Munin]

(Оффтоп)

...Как же, помню, Тор и названый брат его Проективная Плоскость...

-- 06.01.2015 19:26:45 --

(Оффтоп)

...И отец их Один (в смысле, Единичный Отрезок)...

[maxmatem]

Munin

Цитата:

В принципе, если мне не мерещится, что-то похожее на лист Мёбиуса может всплыть в спинах.

может посоветуете литературу ?