Ещё предел

[fronnya]

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}$
1) Представил в виде суммы двух дробей
2) каждую из дробей домножил и поделил на $(-2)^{n+1}$ и $3^{n+1}$ соответственно
3) преобразовал. Получил вот это :

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{\frac{1}{(-2)^{n}}}{1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{n+1}}+\frac{\frac{1}{3^n}}{1+\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}}\right]$$

4)Вынес из первой и второй дроби $\frac{1}{(-2)^n}$ и $\frac{1}{3^n}$ соответственно и сократил это с числителем, в итоге имею:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}$$

[Ms-dos4]

fronnya
Что то вы там не так напреобразовывали, а на самом деле всё много проще. Разбивайте дробь на две, первая очевидно стремится к нулю, а вторая-?

[provincialka]

Оригинально вы делите числитель, т.е. ${(-2)^n}$ на $(-2)^{n+1}$ и получаете $\frac1{(-2)^n}$

[fronnya]

provincialka в сообщении #957014 писал(а):

Оригинально вы делите числитель, т.е. ${(-2)^n}$ на $(-2)^{n+1}$ и получаете $\frac1{(-2)^n}$

упс

[B@R5uk]

Предлагаю отдельно рассмотреть две подпоследовательности. Одна с чётными, другая с нечётными членами. Если они обе будут иметь одинаковый предел, то и исходная будет иметь тот же предел.

[provincialka]

B@R5uk
Зачем? Просто вынести главные части в числителе и в знаменателе и посмотреть, на что похоже оставшееся выражение.

[B@R5uk]

Проще для понимания. Не каждый же сразу увидит, что на одно из слагаемых в числителе и знаменателе можно забить.

[provincialka]

B@R5uk
Зато когда увидит, это поможет ему решать аналогичные примеры. Методическая цель приведенной задачи, как мне кажется, именно в этом.
Я вообще считаю, что цель изучения раздела "Пределы (решение задач)" - в том, чтобы научиться выделять главные части. Это здорово пригодится при изучении рядов и несобственных интегралов, при исследовании функций.

[fronnya]

provincialka,

$$\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{(-\frac{2}{3})^n}{\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}+1}+\frac{1}{\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}+1}\right]$$

Вторая дробь к нулю стремится, остается

$$\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{(-\frac{2}{3})^n}{\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}+1}\right]$$

Да и эта дробь, в принципе, тоже,т.к. знаменатель перетягивает, потому что степень больше. Так что, ответ 0 ?

[provincialka]

fronnya в сообщении #957059 писал(а):

Вторая дробь к нулю стремится

Нет. Неверно. Кстати, разбивать на две дроби совсем не обязательно: и без этого неопределенности нет после вашего преобразования.

[fronnya]

provincialka в сообщении #957075 писал(а):

fronnya в сообщении #957059 писал(а):

Вторая дробь к нулю стремится

Нет. Неверно. Кстати, разбивать на две дроби совсем не обязательно: и без этого неопределенности нет после вашего преобразования.

Так ?

$$\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{(-\frac{2}{3})^n +1}{(-\frac{2}{3})^{n+1} +1}\right]$$

[provincialka]

Теперь главное: к чему стремится $(-\frac23)^n$?

[fronnya]

provincialka в сообщении #957084 писал(а):

Теперь главное: к чему стремится $(-\frac23)^n$?

Так ведь к нулю!

-- 06.01.2015, 01:42 --

Ответ $1/3$

[provincialka]

Ура-а-а!