МКТ при экстремальных условиях.

[Pulseofmalstrem]

Доброго времени суток, прошу помогите разобраться в проблеме изложенной ниже.
Всем известно, что температура связана с средней квадратичной скоростью молекул, стало быть чем выше температура, тем выше скорость. Однако при достаточно высоких скоростях частиц газа классическая механика (на основе которой выводится МКТ) становится не пригодной для расчетов, уступая место СТО. Ниже я постарался самостоятельно вывести основное уравнение МКТ для экстремальных условий.

0. Во всех рассуждениях, описанных ниже, подразумевается, что средняя скорость частиц идеального газа сопоставима со скоростью света.

1. Рассмотрим движение одной частицы газа (будем считать ее упругим шариком для пущего удобства). Распишем закон сохранения импульса:
$\vec{v}m\gamma = \vec{p} + \vec{u}m\gamma$, где v - скорость частицы газа до соударения со стенкой, u - после соударения, $\gamma$ - лоренц-фактор частицы, p - импульс, переданный стенке от частицы.
В проекции на ось Ох (перпендикулярную стенкам сосудам):
$\Delta p = 2\gamma_x mv_v$

2. Распишем силу, с которой группа частиц i действует на стенку сосуда в проекции на ось Ох:
По определению: $F_ix = \dot{p_ix}$
$\dot{p_i_x} = \frac{\Delta p_i_x}{\Delta t} = \frac{2\gamma_i_x v_i_xmN_i}{\Delta t} $, где $N_i$ - количество частиц в группе i.
$N_i = \frac{v_i_x\Deltat Sn_i}{2}$, где S - площадь стенки сосуда, n_i - концентрация частиц в группе i.
Совмещаем два уравнения и получаем:
$F_i = \gamma_i v_i_x^2 Sn_i $

3. Посчитаем суммарную силу силу F, с которой газ действует на стенки сосуда:
$F = \sum\limits_{i}^{}F_i = mS \sum\limits_{i}^{}\gamma_i v_i_x^2 n_i = \gamma \frac{mSN}{V}*\frac{\sum\limits_{i}^{}N_i v_i_x^2}{N}$
$F = mSn\left\langle v_x^2 \right\rangle\gamma$, на основании того, что $\gamma$ в среднем не слишком сильно отличается между молекулами.
Теперь добавляем к этому следующее условие: $\left\langle v_x^2\right\rangle = \frac{\left\langle v^2\right\rangle}{3}$, получаем:
$F = \frac{mnS\left\langle v^2\right\rangle}{3\sqrt{1 - \frac{\left\langle v^2\right\rangle}{c^2}}}$, или что тоже самое:
$P = \frac{mn\left\langle v^2\right\rangle}{3\sqrt{1 - \frac{\left\langle v^2\right\rangle}{c^2}}}$, таким образом основное уравнение МКТ для частиц с высокими скоростями.

Прошу указать мне на ошибки/ложные идеи.

[Munin]

Pulseofmalstrem в сообщении #956721 писал(а):

Ниже я постарался самостоятельно вывести основное уравнение МКТ для экстремальных условий.

Достойный порыв. Но если хотите, это изложено в ЛЛ-2 § 35.

Pulseofmalstrem в сообщении #956721 писал(а):

0. Во всех рассуждениях, описанных ниже, подразумевается, что средняя скорость частиц идеального газа сопоставима со скоростью света.

Ну, тут речь о модуле скорости. Потому что если вспомнить, что скорость вектор, то в этом смысле среднее будет нуль.

Pulseofmalstrem в сообщении #956721 писал(а):

1. Рассмотрим движение одной частицы газа (будем считать ее упругим шариком для пущего удобства). Распишем закон сохранения импульса:
$\vec{v}m\gamma = \vec{p} + \vec{u}m\gamma$, где v - скорость частицы газа до соударения со стенкой, u - после соударения, $\gamma$ - лоренц-фактор частицы, p - импульс, переданный стенке от частицы.
В проекции на ось Ох (перпендикулярную стенкам сосудам):
$\Delta p = 2\gamma_x mv_v$

Тут $v_x$ - правильно, иксовая проекция должна быть. А вот у $\gamma$ никаких индексов не появляется. И в этом смысле всё замысловато: давление зависит не только от иксовой составляющей скорости, но и от других составляющих. Впрочем, проще сразу переселиться в пространство импульсов, там независимость восстанавливается.

Pulseofmalstrem в сообщении #956721 писал(а):

Теперь добавляем к этому следующее условие: $\left\langle v_x^2\right\rangle = \frac{\left\langle v^2\right\rangle}{3}$, получаем

А вот это фиг! Тут аккуратней надо. Дело в том, что вот это соотношение верно только для максвелловского распределения скоростей. Собственно, в курсе матстатистики можно решить даже обратную задачу: доказать, что единственное распределение, которое удовлетворяет этому соотношению, есть максвелловское.

-- 05.01.2015 16:50:14 --

И подсказка: "основное уравнение МКТ", которое называется в более широком смысле уравнением состояния вещества, проще искать и записывать в форме $P(\langle E\rangle),$ а не в форме $P(\langle v^2\rangle).$

[Pulseofmalstrem]

Munin
Благодарю за комментарии, думаю прочту предложенную литературу, собственно, я полагал, что это уже кто-то сделал, так что выводил чисто для души.

[Munin]

Между прочим, очень полезная штука для ранних стадий Большого Взрыва.

[Pulseofmalstrem]

Munin
А это проверяли экспериментально? Такой эффект (влияния поправок СТО) теоретически можно заметить на горячих звездах, там же насколько я понимаю, имеет место давления гравитации, давления излучения и просто обычного давления газа (хотя там плазма, а для плазмы наверняка другие законы, но все равно поправка будет ощущаться при достаточно высоких значениях $T$)?

[Pphantom]

Pulseofmalstrem в сообщении #956777 писал(а):

но все равно поправка будет ощущаться при достаточно высоких значениях $T$

Вот именно, что достаточно высоких. А у обычных горячих звезд температура наблюдаемых областей слишком мала.

[Pulseofmalstrem]

Pphantom в сообщении #956781 писал(а):

Pulseofmalstrem в сообщении #956777 писал(а):

но все равно поправка будет ощущаться при достаточно высоких значениях $T$

Вот именно, что достаточно высоких. А у обычных горячих звезд температура наблюдаемых областей слишком мала.

А где тогда достигаются температуры достаточно высокие для ощутимых отклонений от классических формул?

[Pphantom]

Pulseofmalstrem в сообщении #956782 писал(а):

А где тогда достигаются температуры достаточно высокие для ощутимых отклонений от классических формул?

Выше Munin уже написал.

[Munin]

Pulseofmalstrem в сообщении #956777 писал(а):

А это проверяли экспериментально?

Большой Взрыв, в смысле? Нет, не устраивали ещё :-)

А уравнение состояния - пожалуй, что проверяли, в ускорителях при столкновении тяжёлых ионов.

Pulseofmalstrem в сообщении #956782 писал(а):

А где тогда достигаются температуры достаточно высокие для ощутимых отклонений от классических формул?

Кроме Большого Взрыва, может быть, взрывы сверхновых, и может быть, такие мощные процессы, как диски аккреции и точки рождения газовых струй в квазарах и микроквазарах. Но не поручусь, не помню, надо лучше у Pphantom спросить. А в Большом Взрыве - точно дело было.

[Pphantom]

Munin в сообщении #956833 писал(а):

Кроме Большого Взрыва, может быть, взрывы сверхновых, и может быть, такие мощные процессы, как диски аккреции и точки рождения газовых струй в квазарах и микроквазарах. Но не поручусь, не помню, надо лучше у Pphantom спросить. А в Большом Взрыве - точно дело было.

Именно с наблюдаемыми эффектами плохо. В общем-то легко получить, экстраполируя классическое выражение, что для того, чтобы характерные скорости частиц оказались сравнимы со скоростью света, надо поднять температуру до величин порядка $10^{11} \div 10^{12} $ К. Для всего перечисленного, кроме, пожалуй, собственно вспышки сверхновой (причем ее центра), это много. А при меньших температурах это мелкие и практически ненаблюдаемые поправки.

[Munin]

А я как раз на аккрецию на ЧД надеялся - раз там энергетическая эффективность велика, то думал, и температуры релятивистские.

[Pphantom]

Munin в сообщении #956861 писал(а):

А я как раз на аккрецию на ЧД надеялся - раз там энергетическая эффективность велика, то думал, и температуры релятивистские.

Кажется, можно дотянуть до $10^9$ К, но в данном случае это все равно мало.

[DimaM]

Munin в сообщении #956747 писал(а):

Дело в том, что вот это соотношение верно только для максвелловского распределения скоростей. Собственно, в курсе матстатистики можно решить даже обратную задачу: доказать, что единственное распределение, которое удовлетворяет этому соотношению, есть максвелловское.

Разве? Это соотношение получается из изотропности $\langle v_x^2\rangle=\langle v_y^2\rangle=\langle v_z^2\rangle$ и очевидного соотношения $\langle v_x^2\rangle+\langle v_y^2\rangle+\langle v_z^2\rangle=\langle v^2\rangle$, дополнительных ограничений на распределение не требуется. Максвелловское распределение дает связь средних квадратов с температурой $\left\langle\dfrac{mv_x^2}{2}\right\rangle=\dfrac{kT}{2}$.

Upd: если определить температуру через среднюю кинетическую энергию, то Максвелл опять же не нужен. Распределение Максвелла замечательно тем, что обращает в нуль интеграл столкновений.

-- 10.01.2015, 13:30 --

Pulseofmalstrem в сообщении #956721 писал(а):

на основании того, что $\gamma$ в среднем не слишком сильно отличается между молекулами

А верно ли это приближение?

[Munin]

DimaM в сообщении #959419 писал(а):

Разве? Это соотношение получается из изотропности $\langle v_x^2\rangle=\langle v_y^2\rangle=\langle v_z^2\rangle$ и очевидного соотношения $\langle v_x^2\rangle+\langle v_y^2\rangle+\langle v_z^2\rangle=\langle v^2\rangle$, дополнительных ограничений на распределение не требуется.

Да, это та же самая логическая цепочка задом наперёд: это соотношение можно постулировать из изотропности, и тогда будет вычислено максвелловское распределение.

Впрочем, это я пою по памяти, может, что-то и напутал.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #956833 писал(а):

Большой Взрыв, в смысле? Нет, не устраивали ещё

Ну как не устраивали? Просто отчёт не опубликован...