Достоверное определение сходимости ряда

[StaticZero]

Простите мой пошлый интерес, а он сходится?

[grizzly]

StaticZero, provincialka,
Конечно, вы правы -- это я глупости наговорил. Да, ассоциации были навеяны рядом, типа того, что указала provincialka, но без степени, суммировать от 1, а новый вложенный логарифм добавлять только тогда, когда он становится больше 1. То есть, этот ряд будет начинаться как-то так:

$$1+\dfrac12+\dfrac1{3\ln3}+...+\dfrac{1}{15\ln 15}+\dfrac{1}{16\ln16\ln\ln16}+...$$

(Оффтоп)

Совсем ничему уже нельзя слепо доверить из студенческой памяти :)

-- 04.01.2015, 17:14 --

StaticZero в сообщении #956240 писал(а):

Простите мой пошлый интерес, а он сходится?

Ну ладно я, но provincialka же нас никогда не обманывает:

provincialka в сообщении #956235 писал(а):

сходимость которого можно сделать "сколь угодно медленной"

[provincialka]

grizzly в сообщении #956241 писал(а):

Ну ладно я, но provincialka же нас никогда не обманывает:

Бывает

StaticZero в сообщении #956240 писал(а):

Простите мой пошлый интерес, а он сходится?

Да, при $p>1$ по интегральному признаку. При этом условии
$\sum\limits_{a}^{+\infty}\frac{1}{n}$ расходится, а $\sum\limits_{a}^{+\infty}\frac{1}{n^p}$ сходится
$\sum\limits_{a}^{+\infty}\frac{1}{n\ln n}$ расходится, а $\sum\limits_{a}^{+\infty}\frac{1}{n\ln^p n}$ сходится, причем оба ряда по скорости изменения общего члена находятся между предыдущими. При желании можно добавлять логарифмов сколько угодно.

[StaticZero]

Родился, наконец, вопрос.
Известно, что

$$ \sum \limits_{n = 1}^{\infty} x_n < \infty $$

как следствие

$$ \lim \limits_{n \to \infty} x_n = 0 $$

Верно ли, что в данном случае из вышеуказанного следует

$$ x_n < \dfrac{1}{n}$$

или хотя бы

$$ \exists N: \ \ \forall n > N \ \ x_n < \dfrac{1}{n}? $$

[provincialka]

Пусть $x_n=2/n$ при $n=k^2$ и 0 в остальных случаях.

[StaticZero]

А если поставить условие $x_n > 0$?

-- 05.01.2015, 19:38 --

И да, а сходится ли

$$ \sum \limits_{n = 1}^{\infty} x_n $$

при

provincialka в сообщении #956776 писал(а):

$x_n=2/n$ при $n=k^2$ и 0 в остальных случаях.

?

[provincialka]

С чего бы? Ведь его частичные суммы равны частичным суммам ряда $\sum\limits_1^{\infty} \frac1{n^2}$, только повторяющимся по нескольку раз.

-- 05.01.2015, 18:41 --

StaticZero в сообщении #956790 писал(а):

А если поставить условие $x_n > 0$?

Ну, возьмите вместо нулей члены геометрической прогрессии, например, при $n\ne k^2$ будет $x_n=\frac 1{2^n}$

[StaticZero]

Спасибо, тогда отправляюсь думать ещё.

[provincialka]

Вряд ли в этом направлении вы что-то надумаете. "Нижней границы сходимости" у рядов нет.

[StaticZero]

Хорошо. Я вроде бы даже разобрался.

-- 05.01.2015, 20:17 --

Спасибо вам большое.