2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 14:06 
Решая задачи по уравнениям математической физики, получаю интегралы, которые не знаю, как считать.
Вот первый из них имеет такой вид:
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cos \xi  \exp(-\alpha (x-\xi)^2) d\xi$$
Пробовал представить косинус как действительную часть от $\exp(-i\xi)$ и свернуть полный квадрат под экспонентой, но тогда получится, что под полным квадратом будет комплексное число. Это будет интеграл Пуассона или уже нет?

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 14:13 
Вы лучше наоборот, сделайте замену типа $t=x-\xi$, возможно, с коэффициентом, с тем, чтобы потом косинус раскидать на две экспоненты и получить преобразование Фурье от его собственной функции (ну или похожей на то). Как-то так.
(Можно, конечно, не делать замену, а пользоваться уже готовыми свойствами преобразований Фурье, но плясать стоит именно в этом направлении.)

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 14:55 
Аватара пользователя
Можно внести косинус под экспоненту, преобразовать квадратичный трёхчлен под экспонентой, получится Гауссов интеграл, сдвинутый вдоль мнимой оси и отмасштабированный вдоль действительной, и умноженный на коэффициент. Тем не менее его значение всё тоже (обоснование -- аналитичность подынтегральной функции на всей комплексной плоскости).

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 14:57 
B@R5uk
По сути, Вы предлагаете заняться вычислением преобразования Фурье от собственной функции с нуля. Тоже интересно, конечно.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 15:06 
Аватара пользователя
Не дочитал до конца вопрос, сори.
gammaker в сообщении #956685 писал(а):
Это будет интеграл Пуассона или уже нет?
И да и нет. Отличие в том, что после замены переменной интеграл будет браться не по действительной прямой комплексной плоскости, а по прямой, параллельной ей, но смещённой вдоль мнимой прямой. Тем не менее, значения по любой такой прямой у интегралов совпадают. Ответ на вопрос "Почему?" даёт ТФКП.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 15:49 
Вообще говоря, это готовая свертка двух стандартных функций, фурье-образы которых известны. Ее фурье-образ получается мгновенно, а обратное преобразование сделать несложно.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 16:06 
Спасибо большое всем за ответы. Этот интеграл посчитал, задачу дорешал. Сейчас буду решать другую задачу. Там тоже какой-то нехороший интеграл должен получиться, напишу его в эту тему.

-- 05.01.2015, 17:57 --

Вот второй интеграл:
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$
Мне советовали его посчитать с помощью вычетов, но я так и не понял, каким образом. Ведь в числителе стоит не многочлен и не экспонента вида $\exp(-i \lambda x)$.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 21:03 
gammaker в сообщении #956729 писал(а):
Ведь в числителе стоит не многочлен и не экспонента вида $\exp(-i \lambda x)$.

И что? Вы хоть попробовали?

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 21:28 
Slow в сообщении #956883 писал(а):
И что? Вы хоть попробовали?

Попробовал, но получил явно что-то не то, потому что судя по ответу к задаче должен получиться интеграл ошибок erfc. Я даже не могу представить, откуда он берётся, но если считать через вычеты, он не получается.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 21:41 
gammaker
Вас в Карантин унести, или сами попытки решения приведете?

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 22:59 
Вычет подынтегральной функции в полюсе первого порядка $il$ равен
$$\frac{\exp(\alpha l^2)}{2il}$$
Умножаю на $2\pi i$ и получаю интеграл
$$\frac{\pi}{l}\exp(\alpha l^2)$$
Сомневаюсь, что это правильно. Как я уже писал, в ответе был $erfc(\frac{l}{2a\sqrt{t}})$.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 23:03 
Чтобы так считать, нужно, чтобы условия леммы Жордана выполнялись. Вы их проверили? Не всегда же интеграл по прямой равен (с точностью до известного множителя) сумме вычетов по верхней полуплоскости.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 23:13 
Аватара пользователя
Вычеты здесь не помогут, пробуйте что-нибудь еще.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 23:48 
Аватара пользователя
gammaker в сообщении #956729 писал(а):
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$

Для начала, параметр здесь один. Сообразите, каким образом интеграл приводится к виду $\frac{1}{l}f\left( {\alpha l^2 } \right)$.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 01:08 
Аватара пользователя
ex-math в сообщении #956958 писал(а):
Вычеты здесь не помогут
Почему же? Можно попробовать преобразованием переменной замкнуть бесконечную прямую действительной оси в какую-нибудь окружность. Внутри неё наверняка окажется полюс, иначе бы интеграл равнялся бы нулю.

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group