Об элементах множества.

[jurij]

Нахожу в Википедии определение множества.
Георг Кантор.
Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).
Бертрана Рассела.
«Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».

Интуитивно понятно и то и другое определение. Но до тех пор, пока не задаешь вопрос: что является элементом множества. Вернее не так. На основании чего мы "определённый хорошо различимый предмет m нашего созерцания или нашего мышления" считаем элементом множества М. А какой такой же хорошо различимый предмет нашего созерцания или нашего мышления n не считаем элементом множества М.

В определении Кантора процедурой внесения предмета m в множество M является понимание принадлежности этого предмета к М.Но это чистый произвол. Вы понимаете, а я не понимаю... Не менее произвольна эта процедура у Рассела: это совокупность..... , мыслимая как единое целое . Опять таки, вы мыслите, что эти объекты образуют единое целое. А я так не считаю...

Где-то летом я поднимал вопрос соответствия определения множества Георга Кантора пустому множеству. Как я сейчас понимаю, этот вопрос как раз касался определения признаков принадлежности чего либо к какому-то множеству. Тогда я предложил определить множество как совокупность признаков по которым окружающие его объекты принадлежат или не принадлежат ему.

Читаю сейчас Википедию, статья "Множества".
Нахожу утверждение, что Георг Кантор определил множество, как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Слава Богу, оказывается Кантор все-таки достаточно четко определил, что является элементом множества. Это объекты, обладающие каким-то общим для них всех свойством. И мое определение оказалось совсем недалеко от определения Георга Кантора. Это прельщает.

Однако, читаю дальше и нахожу в разделе элементы множества утверждение:"В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов." Вот так выстрел! Оказывается, элементы, образующие множество, не должны иметь друг с другом ничего общего. А тогда как "...совокупност(ь) всех объектов, обладающих данным свойством.". Какой-то ералаш.

Так все таки, как из совокупности окружающих меня элементов создать хотя бы одно, четко определенное множество?

[provincialka]

Почему уникальность приводит к тому, что "не должны иметь ничего общего"? Все или ничего?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Междисциплинарный раздел» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в соответствующий раздел

jurij в сообщении #956271 писал(а):

Так все таки, как из совокупности окружающих меня элементов создать хотя бы одно, четко определенное множество?

В наивной теории множество это очень просто: если $a_i$ - элементы, то $\{..., a_i, ...\}$ - множество. Элементы здесь - совершенно что угодно.
Всё. Обсуждать здесь больше нечего.
То, что это приводит к парадоксам типа Рассела - это другой вопрос и, если Вы хотите говорить об этом, надо писать именно об этом.

jurij в сообщении #956271 писал(а):

В определении Кантора процедурой внесения предмета m в множество M является понимание принадлежности этого предмета к М.Но это чистый произвол. Вы понимаете, а я не понимаю...

Очень плохо, это ведь очень простая вещь. Это определение, т.е. правила игры со значками. Чего их понимать? Это как спрашивать, почему козырные карты бьют некозырные.

замечание за неоформление формул $\TeX$ом

[jurij]

Deggial в сообщении #956317 писал(а):

Это как спрашивать, почему козырные карты бьют некозырные.

Не так. Это вопрос отношения между картами. Мой вопрос: почему эти карты считаются козырными, т.е. принадлежат множеству козырных карт?

Deggial в сообщении #956317 писал(а):

Элементы здесь - совершенно что угодно.
Всё. Обсуждать здесь больше нечего.

Хорошо бы! Тогда в игре с Вами в карты я всегда выигрывал поскольку объявлял козырными какие угодно карты.

[Deggial]

jurij в сообщении #956338 писал(а):

Deggial в сообщении #956317 писал(а):

Это как спрашивать, почему козырные карты бьют некозырные.

Не так. Это вопрос отношения между картами. Мой вопрос: почему эти карты считаются козырными, т.е. принадлежат множеству козырных карт?

По правилам игры в дурака. Правила в дурака - одни на всех. Если хотите выбирать иное множество козырных карт, чем множество всех карт рандомно выбранной масти, то пожалуйста, только называть это надо не дураком, а необычным дураком.

jurij в сообщении #956338 писал(а):

Deggial в сообщении #956317 писал(а):

Элементы здесь - совершенно что угодно.
Всё. Обсуждать здесь больше нечего.

Хорошо бы! Тогда в игре с Вами в карты я всегда выигрывал поскольку объявлял козырными какие угодно карты.

Правила - одни для всех.

[jurij]

provincialka в сообщении #956272 писал(а):

Почему уникальность приводит к тому, что "не должны иметь ничего общего"? Все или ничего?

Ну а как понимать уникальность.

-- 04.01.2015, 19:35 --

Для Deggial. Собственно Вы определили признак по которому карты колоды принадлежат множеству козырных карт - они одной масти, которая на данный кон игры объявлена козырной. Вполне явный признак, который определяет это множество.

[мат-ламер]

jurij в сообщении #956346 писал(а):

Ну а как понимать уникальность.

Допустим вы определяете множество, элементы которого есть игральные карты. Не может быть в этом множестве две пиковые дамы, поскольку эти элементы неразличимы.
А вообще в определении множества по Кантору есть некоторые тёмные моменты. Но здесь это будет оффтопом.

[Deggial]

jurij в сообщении #956346 писал(а):

Собственно Вы определили признак по которому карты колоды принадлежат множеству козырных карт - они одной масти, которая на данный кон игры объявлена козырной. Вполне явный признак, который определяет это множество.

Это ничего не дает.
Пусть $M$ - произвольное множество, тогда однозначно определим признак $P(x)$ как истинность предиката $x\in M$ (характеристический признак).
Обратно: если $P$ - признак, то $M=\{x:P(x)=1\}$ - его характеристическое множество.
Т.е. упоминание признаков ничего не дает - это совершенно равносильный способ задания элементов множества.
Например, пусть есть Будем считать, что объект $x$ обладает признаком $P_{237}$ тогда и только тогда, когда $x$ - это яблоко, елка или квазар или черная дыра или круглый квадрат или дядя Вася из первого подъезда с бутылкой водки. $P_{237}$ - признак, а $M=\{\text{елка; квазар; черная дыра; круглый квадрат; упомянутый дядя Вася}\}$ - множество.
(либо Вы определяете термин "признак" как-то иначе).

На сколько ещё бессмысленных вопросов надо ответить?

[provincialka]

В теории множеств (по крайней мере, наивной) "элемент", "множество" и "принадлежать" - неопределяемые понятия. Для них просто описываются свойства. Элементы не являются элементами сами по себе, а множества - множествами сами по себе. Только в связке друг с другом.

[jurij]

мат-ламер в сообщении #956354 писал(а):

Допустим вы определяете множество, элементы которого есть игральные карты. Не может быть в этом множестве две пиковые дамы, поскольку эти элементы неразличимы.

Ну если быть занудой, то пиковых дам в этом множестве сколько угодно, поскольку множество игральные карты включает в себя ну очень много колод игральных карт. Однако, мысль понятна.

Проблема, на мой взгляд, в неудачном, неоднозначно понимаемом определении, что такое элемент множества, приведенном в Википедии. Множества, состоящие из реальных элементов, такие и есть. Элементы их составляющие, все разные. Например автоматные патроны. Их делают на роторно-конвеерных линиях миллиардами штук. На первый взгляд все эти патроны одинаковы - таковыми они в идеале должны быть. На самом деле двух одинаковых патронов нет, но все они принадлежат множеству автоматные патроны, поскольку подходят для АК-74.

[provincialka]

У понятий "множество" и "элемент" не может быть определений с точном смысле слова. Потому что их нельзя свести к более общим понятиям. Есть только правила использования этих понятий.

[jurij]

Большое спасибо принявшим участие в разъяснении мне вопроса об элементах множества. Всю эту бодягу я затеял для выяснения следующего вопроса.
Я напомню определение процедуры измерения: "...измерение — процедура сравнения данной величины с другой величиной, принятой за эталон (единицу)". Результатом этой процедуры является число, количественная мера измеряемой величины. Например, есть корзина с корнеплодами. Сравнивая содержимое корзины с одним корнеплодом получим, что в корзине, например, 35 корнеплодов. Что такое корнеплод - понятно: это картофелина, или свекла, или морковка, луковица...
Изменим эталон сравнения. Например, пусть это будет морковь. Произведем сравнение, т.е. выберем из кучи корнеплодов только морковь. Затем свеклу, картофель, лук. В результате куча овощей распадется на кучки, множества моркови, свеклы, картофеля, лука. То есть, множество можно определить как результат измерительной процедуры. Но меня смутило утверждение, что элементы множества уникальны. Оказывается это действительно так. Двух одинаковых морковок не бывает. В тоже время мы безошибочно определяем принадлежит корнеплод множеству морковок, т.е. является он морковкой или нет.

[provincialka]

jurij в сообщении #956403 писал(а):

То есть, множество можно определить как результат измерительной процедуры.

Весьма сомнительное утверждение. Измерение позволяет получить размер множества, а не его самого. Кстати, в вашем примере эталоном будет скорее не "морковка", а "штука". А вот "штуки" все одинаковы. Поэтому их можно считать.

[grizzly]

jurij в сообщении #956403 писал(а):

эталон сравнения... результат измерительной процедуры...

Может быть, у Вас на языке крутилось слово "абстрагирование"?

[Deggial]

jurij в сообщении #956377 писал(а):

Проблема, на мой взгляд, в неудачном, неоднозначно понимаемом определении, что такое элемент множества, приведенном в Википедии.

Формулировки из Википедии здесь не обсуждаем.

jurij в сообщении #956403 писал(а):

То есть, множество можно определить как результат измерительной процедуры.

Нет, нельзя. Определите множество натуральных чисел как результат измерительной процедуры. Высказываемые утверждения надо доказывать, либо не писать их совсем.

jurij в сообщении #956403 писал(а):

Изменим эталон сравнения. Например, пусть это будет морковь. Произведем сравнение, т.е. выберем из кучи корнеплодов только морковь. Затем свеклу, картофель, лук. В результате куча овощей распадется на кучки, множества моркови, свеклы, картофеля, лука. То есть, множество можно определить как результат измерительной процедуры. Но меня смутило утверждение, что элементы множества уникальны. Оказывается это действительно так. Двух одинаковых морковок не бывает. В тоже время мы безошибочно определяем принадлежит корнеплод множеству морковок, т.е. является он морковкой или нет.

В чём конкретно Ваш вопрос, что хотите обсудить?