Достоверное определение сходимости ряда

[StaticZero]

Есть некий положительный ряд. Вопрос таков: верно ли, что никакой совокупностью признаков нельзя достоверно проверить, что он сходится?

(ряд - действительный).

[provincialka]

Смотря что считать признаком. Вот критерий Коши например, решает вопрос полностью (потому что он именно критерий, то есть необходимое и достаточное условие).

[StaticZero]

provincialka в сообщении #956007 писал(а):

критерий Коши

Это тот, который $\varepsilon$ - критерий?
А, понял. Этим критерием я и пришёл к тому, что ряд должен сходиться.

Имеются ввиду признаки, формирующие достаточные условия. Но бывают случаи, когда, например, ни признак Коши, ни признак Д`Аламбера ответа не дают. Бывают ли случаи, когда ни один вообще не даст ответа о сходимости?

-- 04.01.2015, 12:17 --

Короче говоря, я знаю, что

$$ \sum \limits_{n = 0} ^{+\infty} x_n < \mathbf M$$

Мне нужно выдвинуть какое-нибудь достаточно сильное ограничение на $x_n$ (уж точно не $x_n \to 0$).

[provincialka]

А ряд положительный? Так больше ничего не надо! По теореме о монотонной последовательности (в данном случае частичных сумм) ограниченности достаточно для сходимости.

[StaticZero]

А, ну да, я снова криво выразил свои мысли.
Попытка #3. Мне нужно, чтобы выполнялось вот это:

StaticZero в сообщении #956129 писал(а):

$$ \sum \limits_{n = 0} ^{+\infty} x_n < \mathbf M$$

Но тогда мне будет необходимо и достаточно сходимости слева. Вот я хочу выдвинуть условие на $x_n$ сколько-нибудь сильное.

(Оффтоп)

Пора бы мне уже научиться выражаться нормально.

[provincialka]

StaticZero в сообщении #956138 писал(а):

Пора бы мне уже научиться выражаться нормально.

Пока не вышло. Мало ли какие существуют условия, это все очень неопределенно.

То есть ограниченность у вас не доказана? Может, вы хотите применить признак сравнения и указать ряд, который сходится, но меняется достаточно медленно? Тут точно нет "наилучшего": для любого сходящегося ряда есть другой сходящийся, члены которого стремятся к 0 медленнее.

[StaticZero]

provincialka в сообщении #956140 писал(а):

То есть ограниченность у вас не доказана?

Ситуация такая: я хочу, чтобы ряд был ограничен сверху. Тогда я требую от самого ряда сходимости (по признаку, как его там, Коши). А чтобы ряд сходился, необходимо как минимум $x_n \to 0$. Но хочется условия посильнее, например, чтобы выполнялось

$$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x_{n + 1}}{x_n} < 1.$$

Но есть случаи, когда

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x_{n + 1}}{x_n} = 1,$$

а $\sum \limits_{n = 0}^{+\infty} x_n$ сходится. Значит, нужно вытащить ещё какой-нибудь признак; в свою очередь, тот признак тоже может не дать ответа и т.д. Вопрос заключается в следующем: "правда ли, что существует ряд, для которого весь набор известных признаков не даёт ответа".

[iifat]

StaticZero в сообщении #956138 писал(а):

тогда мне будет необходимо и достаточно сходимости слева

Да. Я про «выражаться нормально». Что вы хотели сказать, совершенно непонятно.
Если вас интересует алгоритм определения сходимости/расходимости ряда, таковой отсутствует. Есть куча признаков, ни один из которых не универсален. Кроме интегрального, как помнится, но задача определения сходимости/расходимости интеграла в общем случае тоже не решаема. Ах да, это ж только для монотонных рядов.

[provincialka]

StaticZero в сообщении #956143 писал(а):

"правда ли, что существует ряд, для которого весь набор известных признаков не даёт ответа".

Правда. Именно потому, что они признаки, а не критерии. То есть достаточные условия, но не необходимые. А вы хотите критерий. Но Коши вам не нравится...

[StaticZero]

Ну, например, для такого ряда можно ли совокупностью нескольких признаков дать ответ:

$$ x_1 + x_1x_2 + x_1x_2x_3 + \ldots = \sum \limits_{n = 1}^{+\infty} \prod \limits_{k = 1}^n x_n $$

Понятно, что $x_n > 0$ и т.д.

Пока что из необходимого признака есть лишь

$$ \lim \limits_{n \to +\infty} \prod \limits_{k = 1}^n x_n = 0 $$

[provincialka]

А чем он лучше любого другого? Это просто другая запись. В общем виде - нельзя, надо что-то знать об $x_n$

[StaticZero]

Ладно, тогда я ещё подумаю. А тему пока не закрывайте, пожалуйста.

[grizzly]

StaticZero в сообщении #956147 писал(а):

Ну, например, для такого ряда можно ли совокупностью нескольких признаков дать ответ:

$$ x_1 + x_1x_2 + x_1x_2x_3 + \ldots = \sum \limits_{n = 1}^{+\infty} \prod \limits_{k = 1}^n x_n $$

Чем-то напоминает классический пример, в котором:
$x_1=\dfrac1x$, $x_2=\dfrac1{\ln x}$, $x_3=\dfrac1{\ln(\ln x)}$, ... (в общем члене $n-1$ вложенный логарифм в знаменателе).
Не особенно удобный ряд для исследования его всякими признаками.

[StaticZero]

grizzly в сообщении #956182 писал(а):

Чем-то напоминает классический пример, в котором:
$x_1=\dfrac1x$, $x_2=\dfrac1{\ln x}$, $x_3=\dfrac1{\ln(\ln x)}$, ... (в общем члене $n-1$ вложенный логарифм в знаменателе).
Не особенно удобный ряд для исследования его всякими признаками.

Если я не ошибаюсь, то этот ряд при $n \to \infty$ не существует. (Существует лишь если $x = +\infty$).

-- 04.01.2015, 16:44 --

И, как следствие, говорить о том, что он сходится или нет, нельзя.

[provincialka]

Видимо, такие ассоциации вызвал ряд вида $\sum\limits_{a}^{+\infty}\dfrac{1}{n\ln n \ln\ln n\cdot...\cdot\ln^p\ln...\ln n}$ с конечным числом сомножителей, сходимость которого можно сделать "сколь угодно медленной" добавляя все новые сомножители в знаменателе. Надо только взять $p>1$.