Усиление условия известной задачи о раскраске числовых пар

[Ktina]

На девятом ТурГоре предлагалась следующая задача.
Рассматриваются всевозможные пары

$$(a, b)$$

натуральных чисел, где

$$a < b$$

. Некоторые пары объявляются чёрными, остальные – белыми. Можно ли это сделать так, чтобы для любых натуральных $a$ и $d$ среди пар

$$(a, a + d), (a, a + 2d), (a + d, a + 2d)$$

встречались и чёрные, и белые?

Авторами также предлагалось решение, до которого нетрудно додуматься:
http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=97951

Но мне кажется, что условие исходной задачи можно значительно усилить. Можно раскрасить пары в белый и чёрный цвета так, чтобы для любых натуральных $a$ и $d$ пары

$$(a, a + d)$$

и

$$(a + d, a + 2d)$$

были разноцветными.
Приведу один из возможных способов такой раскраски:
Пусть числа в паре

$$(m, n)$$

, где

$$m < n$$

, отличаются на некоторое натуральное число $k$. Тогда, если остаток при делении $m$ на $2k$ меньше $k$, покрасим пару в белый цвет.
В противном случае - в чёрный.

Есть ли ошибка в моём решении?

[grizzly]

Ktina в сообщении #955660 писал(а):

Есть ли ошибка в моём решении?

А откуда вдруг такие сомнения? :) Ошибки, конечно, нет. Могу разве что предположить, что на реальной олимпиаде большинство пошло бы по менее элегантному, но более простому пути (в том смысле, что его проще заметить; но это я по себе сужу): можно выделить максимальную степень двойки, на которую делится $n-m$ и провести с ней такие же рассуждения.

[Ktina]

grizzly
Спасибо!