Док-во леммы Барта

[pooh__]

Основное поле алгебраически замкнуто, V$ - векторное пр-во.
$\operatorname{A,B} \in EndV, \operatorname{rk[A,B]} = 1 \implies$ у этих операторов есть общий собственный вектор.

Предположим, что $\operatorname{A}$ не умножение на скаляр(для этого случая просто разобраться)
Пусть $\operatorname{A}v = \lambda v, v \in \ker\operatorname{[A,B]}$, тогда $[\operatorname{A,B}]v = \operatorname{(A-\lambda E)B}v = 0$
Т.е. $\operatorname{B}v$ - собственный вектор для $\operatorname{A}$.
Первый случай: $\operatorname{B}v \in Span(v)$, что равносильно тому, что он собственный для $B$ значит задача решена.
Второй случай: $\operatorname{B}v \notin Span(v)$, тогда заменим $v$ на $\operatorname{B}v$ и опять подставим его в коммутатор.
Если он не лежит в ядре, то дополнение к его оболочке и есть ядро. В этом случае выберем вектор с другим собственным значением(он есть т.к. поле замкнуто и $\operatorname{A}$ не умножение на скаляр). Он будет лежать в ядре и такой цепочкой мы не придем к вектору не из ядра.
Таким образом имеем $v, \operatorname{Bv}, \operatorname{BB}v, ..$ - собственные для $\operatorname{A}$.
В конечной размерности очевидно это дает нам совпадение на каком-то шаге.


Собственно вопрос в том, что делать с бесконечной размерностью, да это док-во я боюсь дырявое получилось..

P.S. Что-то я подумал, все разваливается из-за того, что $v$ может лежать в ядре $\operatorname{B}$.

[patzer2097]

Вы хотите доказывать, что "у этих операторов есть общий собственный вектор" и пишете

pooh__ в сообщении #955666 писал(а):

Пусть $\operatorname{A}v = \lambda v$<...>Что-то я подумал, все разваливается из-за того, что $v$ может лежать в ядре $\operatorname{B}$.

Это кажется мне забавным. А весь остальной текст абсолютно непонятен.

[pooh__]

Согласен, что написано не слишком понятно, но что вас смущает в этом отрывке? То что он тогда и будет собственным со значением 0
Но тогда все правильно значит?

[patzer2097]

pooh__ в сообщении #955937 писал(а):

Согласен, что написано не слишком понятно, но что вас смущает в этом отрывке?

не знаю, Ваше доказательство уже с первой строчки непонятное, что делать, если $v$ не лежит в ядре коммутанта? Что такое дополнение в линейном пространстве и почему оно есть ядро? итд..

[pooh__]

Ох действительно, там нашел концептуальные косяки.
В три ночи лучше ничего не доказывать походу.

Идея была в том, что коразмерность ядра 1, так что почти все там лежит. Но вот на деле дополнительное подпространство к нему можно очень многими способами выбирать и наши собственные векторы не обязаны целиком лежать в ядре...

[patzer2097]

pooh__ в сообщении #955963 писал(а):

коразмерность ядра 1, так что почти все там лежит

В моем понимании если коразмерность чего-то больше нуля, то там не лежит почти ничего

[g______d]

Здесь была липа про конечномерный случай.

А в бесконечномерном случае рассмотрим $l_2(\mathbb N)$, и в нём операторы сдвига вправо (с добавлением нуля) и влево. У них коммутатор — это проектор на первый базисный вектор, но у сдвига вправо собственных векторов вообще нет.

[patzer2097]

g______d в сообщении #956054 писал(а):

А коммутатор ранга 1 — такое вообще бывает в конечномерном случае?

$$\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

Впрочем, более содержательных примеров действительно нет - все такие пары состоят из двух верхнетреугольных матриц с точностью до смены базиса. (Это следствие результата, который пытается доказывать ТС.)