2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 02:07 
Основное поле алгебраически замкнуто, V$ - векторное пр-во.
$\operatorname{A,B} \in EndV, \operatorname{rk[A,B]} = 1 \implies$ у этих операторов есть общий собственный вектор.

Предположим, что $\operatorname{A}$ не умножение на скаляр(для этого случая просто разобраться)
Пусть $\operatorname{A}v = \lambda v, v \in \ker\operatorname{[A,B]}$, тогда $[\operatorname{A,B}]v = \operatorname{(A-\lambda E)B}v = 0$
Т.е. $\operatorname{B}v$ - собственный вектор для $\operatorname{A}$.
Первый случай: $\operatorname{B}v \in Span(v)$, что равносильно тому, что он собственный для $B$ значит задача решена.
Второй случай: $\operatorname{B}v \notin Span(v)$, тогда заменим $v$ на $\operatorname{B}v$ и опять подставим его в коммутатор.
Если он не лежит в ядре, то дополнение к его оболочке и есть ядро. В этом случае выберем вектор с другим собственным значением(он есть т.к. поле замкнуто и $\operatorname{A}$ не умножение на скаляр). Он будет лежать в ядре и такой цепочкой мы не придем к вектору не из ядра.
Таким образом имеем $v, \operatorname{Bv}, \operatorname{BB}v, ..$ - собственные для $\operatorname{A}$.
В конечной размерности очевидно это дает нам совпадение на каком-то шаге.


Собственно вопрос в том, что делать с бесконечной размерностью, да это док-во я боюсь дырявое получилось..

P.S. Что-то я подумал, все разваливается из-за того, что $v$ может лежать в ядре $\operatorname{B}$.

 
 
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 16:56 
Вы хотите доказывать, что "у этих операторов есть общий собственный вектор" и пишете
pooh__ в сообщении #955666 писал(а):
Пусть $\operatorname{A}v = \lambda v$<...>Что-то я подумал, все разваливается из-за того, что $v$ может лежать в ядре $\operatorname{B}$.
Это кажется мне забавным. А весь остальной текст абсолютно непонятен.

 
 
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 21:41 
Согласен, что написано не слишком понятно, но что вас смущает в этом отрывке? То что он тогда и будет собственным со значением 0 :mrgreen:
Но тогда все правильно значит?

 
 
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 22:35 
pooh__ в сообщении #955937 писал(а):
Согласен, что написано не слишком понятно, но что вас смущает в этом отрывке?
не знаю, Ваше доказательство уже с первой строчки непонятное, что делать, если $v$ не лежит в ядре коммутанта? Что такое дополнение в линейном пространстве и почему оно есть ядро? итд..

 
 
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 22:42 
Ох действительно, там нашел концептуальные косяки.
В три ночи лучше ничего не доказывать походу.

Идея была в том, что коразмерность ядра 1, так что почти все там лежит. Но вот на деле дополнительное подпространство к нему можно очень многими способами выбирать и наши собственные векторы не обязаны целиком лежать в ядре...

 
 
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 23:27 
pooh__ в сообщении #955963 писал(а):
коразмерность ядра 1, так что почти все там лежит
В моем понимании если коразмерность чего-то больше нуля, то там не лежит почти ничего :-)

 
 
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение04.01.2015, 02:02 
Аватара пользователя
Здесь была липа про конечномерный случай.

А в бесконечномерном случае рассмотрим $l_2(\mathbb N)$, и в нём операторы сдвига вправо (с добавлением нуля) и влево. У них коммутатор — это проектор на первый базисный вектор, но у сдвига вправо собственных векторов вообще нет.

 
 
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение04.01.2015, 02:16 
g______d в сообщении #956054 писал(а):
А коммутатор ранга 1 — такое вообще бывает в конечномерном случае?
$$\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$Впрочем, более содержательных примеров действительно нет - все такие пары состоят из двух верхнетреугольных матриц с точностью до смены базиса. (Это следствие результата, который пытается доказывать ТС.)

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group