Квадрат и луч

[grizzly]

EngineEnergy
А что же Вам мой совет выше совсем не помог? И почему Вы не демонстрируете собственных попыток решения? Это ведь положено по правилам форума, иначе тему могут запросто снести в карантин. К тому же без Ваших попыток совершенно непонятно, на каком уровне Вам оказывать помощь.

По поводу Вашего упрощения задачи замечу только, что в моём представлении никакого упрощения или усложнения Ваша новая формулировка не несёт. Другое дело вариант, предложенный 12d3 -- это да, очень интересно.

[EngineEnergy]

grizzly в сообщении #955081 писал(а):

EngineEnergy
А что же Вам мой совет выше совсем не помог? И почему Вы не демонстрируете собственных попыток решения? Это ведь положено по правилам форума, иначе тему могут запросто снести в карантин. К тому же без Ваших попыток совершенно непонятно, на каком уровне Вам оказывать помощь.

Попыток решения не демонстрирую в силу того, что они пока не увенчались должным успехом. Но, если было бы по-другому вопрос потерял бы свою актуальность.
Могу поделиться некоторыми размышлениями касательно данной темы.
возможно они будут полезны.

1. Прямую можно провести через две любые произвольно поставленных точки на плоскости. В случае трех точек это правило также может иметь истину, если все они расположены на одной прямой.

2. Частичное решение задачи имеется. Правда не совсем удовлетворительное. Берем квадрат. Проводим сквозь него луч, находим точки пересечения для входа и выхода из квадрата. Имеем отрезок, вписанный в данный квадрат. Затем разбиваем его на две части. Итого: два отрезка, и одна область по площади равная квадрату. Провести луч одновременно через три полученных "сегмента" невозможно. В дополнительном условии говорилось о том, что квадрат должен быть разбит на три равные части. В нашем случае данное условие было полностью провалено и потому такое решение задачи вряд ли можно считать удовлетворительным. Имеются и другие аргументы против данного решения.

3. Задача может быть разрешена, но при нарушении условия: суммарная площадь трех сегментов квадрата равна площади самого квадрата.

Фактически нет никаких доказательств, что задача вообще подлежит разрешению. Но точно также пока нельзя утверждать и обратное.

[grizzly]

EngineEnergy
Спасибо за развёрнутый ответ. Если честно, мне пока не совсем понятна специфика возникших у Вас затруднений, поэтому я предложу Вам пойти немного другим путём.

Давайте рассмотрим упрощённый вариант задачи, для которого доказательство станет предельно простым (я проведу это доказательство почти до конца и попрошу Вас его закончить). Затем проанализируем, насколько и в какие стороны можно обобщить этот случай не особенно усложняя доказательство.

Задача. Пусть всё тот же квадрат разделен на 3 части равной площади (односвязные области), а граница разделения между каждой парой частей задана гладкой (непрерывно-дифференцируемой) кривой. Доказать, что внутри квадрата найдутся 3 точки, принадлежащие трём разным частям и лежащие на одной прямой.

Начало доказательства.
Выберем внутри квадрата произвольную точку $A$ на границе частей Ч1 и Ч2. Пусть для определённости некоторая $\varepsilon$-окрестность точки $A$ принадлежит объединению частей $\text{Ч1} \cup \text{Ч2}$. Выберем также любую внутреннюю точку $B$ из части Ч3. Проведём через эти точки прямую $AB$. Данная прямая пересекает Ч3.

Теперь дело за Вами. Проанализируйте, как может проходить прямая относительно частей Ч1 и Ч2. Если она не пересекает обе части Ч1 и Ч2 в окрестности точки $A$, что можно сказать об этой прямой (каков её геометрический смысл)? Что в этом случае будет происходить в районе т.$A$, если мы "пошевелим" прямую со стороны т.$B$ в пределах окрестности этой точки, лежащей в Ч3?

Сможете продвинуться немного дальше? Насколько Вам вообще понятна терминология мат.анализа первого курса?

[EngineEnergy]

Прихожу к выводу, что данная задача неразрешима.

Максимум что удалось сделать - это локализовать луч в некоторой области, когда все условия задачи близки к выполнению. В данном случае речь идет о делении области квадрата на три равные части. Какими бы сложными не были данные области пространства, в любом случае найдется такой луч, который сможет пересечь одновременно сразу три части.

[grizzly]

EngineEnergy в сообщении #956815 писал(а):

Прихожу к выводу, что данная задача неразрешима.

А какую задачу Вы решаете? Всё ещё хотите разделить квадрат на 3 непересекаемые одной прямой области? Так ведь давно стало понятно, что это невозможно, и мы ожидали, что Вы сможете поучаствовать в доказательстве упрощённого случая (хотя бы в завершающей части этого доказательства). А пока Ваши утверждения звучат для нас голословно, независимо от их справедливости.

[EngineEnergy]

grizzly в сообщении #956911 писал(а):

А какую задачу Вы решаете? Всё ещё хотите разделить квадрат на 3 непересекаемые одной прямой области? Так ведь давно стало понятно, что это невозможно, и мы ожидали, что Вы сможете поучаствовать в доказательстве упрощённого случая (хотя бы в завершающей части этого доказательства). А пока Ваши утверждения звучат для нас голословно, независимо от их справедливости.

Ну, естественно. Задача та же самая.

Если желаете могу предоставить доказательства.

Поставим точку на границе соприкосновения двух областей. Затем проведем через эту точку прямую. Если она параллельна границе двух областей квадрата, то в таком случае можно считать, что она их не пересекает. Во всех остальных вариантах, прямая пересекает сразу обе взятые области. Можем ли мы провести прямую через третью область чтобы при этом не потерять две других? Да, это верно в подавляющем количестве случаев, кроме уже упомянутого, где прямая параллельна границе сегментов квадрата.

[grizzly]

EngineEnergy в сообщении #957471 писал(а):

Если желаете могу предоставить доказательства.
...

Хорошо, пусть так. Хотя Ваше рассуждение не удовлетворяет в достаточной степени критериям доказательства, заметен определённый прогресс. Думаю, на этом тему можно пока закрыть.

[B@R5uk]

grizzly в сообщении #957515 писал(а):

Хотя Ваше рассуждение не удовлетворяет в достаточной степени критериям доказательства

Почему это? Мы взяли точку на границе двух областей и провели прямую, которая
1) проходит через третью область
2) проходит через первые две, так как не является касательной к границе раздела.
Иметь общие точки с каждой из открытых областей -- это и есть пересекать их в указанном Вами смысле.

[grizzly]

Я не против обсудить дальше с Вами (но лучше бы Вам просмотреть по диагонали всё обсуждение :)

B@R5uk в сообщении #957536 писал(а):

Почему это?

Потому что рассуждение не охватывает случай, когда прямая является касательной к границе. Этот случай рассмотрен и сознательно выброшен из дальнейшего анализа то ли как сложный, то ли как ненужный. Вот с этим я не согласен -- ничего сложного в этом случае нет (тем более, что я его почти полностью расписал в методических целях), а для дальнейших обобщений уметь его доказывать полезно.

Я не думаю, что этот тривиальный случай будет Вам интересен. Лучше подумайте над аккуратным доказательством обобщения для нигде не дифференцируемых границ или над действительно стоящей задачей, которую предложил 12d3.

[12d3]

grizzly в сообщении #957577 писал(а):

или над действительно стоящей задачей, которую предложил 12d3.

Предложить-то предложил, только с какого конца за нее взяться - понятия не имею. Идеи есть?

[B@R5uk]

grizzly в сообщении #957577 писал(а):

Потому что рассуждение не охватывает случай, когда прямая является касательной к границе.

Давайте ещё раз с начала. Нам надо построить прямую, которая пересекает три произвольные области. Для этого мы делаем следующие действия:
1) Мы выбираем точку на границе первых двух областей.
2) Проводим касательную к границе в этой точке.
3) Выбираем произвольную точку третьей области, не лежащую на касательной.
4) Через две точки проводим прямую.
Это всё пункты построения прямой, пересекающей все три области, а не какие-то там случаи.

grizzly в сообщении #957577 писал(а):

а для дальнейших обобщений уметь его доказывать полезно.

Судя по этим словам вы не понимаете, что вообще происходит.

Если уж на то пошло, то тонкий момент в построении, это утверждение, что прямая проходящая через точку на границе двух областей и не являющаяся касательной к границе в этой точке содержит внутренние точки обоих областей. Вот это надо подробно доказать, не смотря на то, что это достаточно очевидно.

[grizzly]

B@R5uk в сообщении #957753 писал(а):

Давайте ещё раз с начала.

Давайте :)
Вы задали мне вопрос, почему я счёл доказательство от EngineEnergy недостаточно строгим. Я объяснил. Теперь вы приводите мне собственное тривиальнейшее доказательство тривиальнейшего факта, но тоже недостаточно строгое. Ну и что? Вы, пожалуйста, возьмите доказательство EngineEnergy и покажите, что именно в нём (а не у меня или у вас) рассмотрены все случаи, а не "подавляющее большинство", как считает автор доказательства.

B@R5uk в сообщении #957753 писал(а):

Это всё пункты построения прямой, пересекающей все три области, а не какие-то там случаи.

Не смешите. У вас тоже рассмотрено "подавляющее большинство" случаев, хотя и большее. Если бы вы внимательно прочли мои рекомендации выше, то обратили бы внимание, что точку на границе в вашем п.1 нужно выбирать внутри квадрата, иначе ваш алгоритм может дать сбой (почему?).

(Оффтоп)

B@R5uk в сообщении #957753 писал(а):

Судя по этим словам вы не понимаете, что вообще происходит.

Объясните мне строго доказательство EngineEnergy, исправьте ошибки в своём, а потом обсудим, кто из нас что-то понимает. Обобщения этой задачи с вами мне обсуждать неинтересно.