Найти экстремали в задаче ВИ

[TamaGOch]

$J[x] = \int_{a}^{b}(\dot{x}^2+x\ddot{x})dt$

$x(a) = A_0$
$\dot{x}(a)=A_1$
$x(b) = B_0$
$\dot{x}(b)=B_1$

Это одна из первых моих задач по вариационному исчислению, с теорией тоже не знаком хорошо. Поэтому прошу подсказать всё, что поможет для решения конкретно этой задачи и последующих подобных.
Что сейчас имею и с чем возникла проблема:
Насколько я понял из методички, для случая $F = F(t, x, \dot{x}, \ddot{x})$, экстремалью называется кривая, которая удовлетворяет начальным условиям и уравнению Эйлера-Пуассона: $\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial F}{\partial \ddot{x}} = 0 $
В моём случае:
$F = \dot{x}^2+x\ddot{x}$

$\frac{\partial F}{\partial x} = \ddot{x}$

$\frac{\partial F}{\partial \dot{x}} = 2\dot{x}$

$\frac{\partial F}{\partial \ddot{x}} = x$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}} = 2\ddot{x}$

$\frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial F}{\partial \ddot{x}} = \ddot{x}$

подставляя, получаю $\ddot{x} - 2\ddot{x} + \ddot{x} = 0$
то есть $0 \equiv 0$

Я рассчитывал получить дифф.уравнение, как получал его ранее, в других примерах. Но как применить полученное тождество не знаю, не хватает материала. Подскажите пожалуйста.
И с наступающим!

[1r0pb]

TamaGOch, заметьте, что $(xx')'={x'}^{2}+xx''.$ Т.е. значение функционала зависит только от граничных условий.

[TamaGOch]

1r0pb, спасибо большое! Пойду сам подумаю, как это применить

[TamaGOch]

То есть
$\int_{a}^{b}(\dot{x}^2+x\ddot{x})dt = \int_{a}^{b}d(x\dot{x}) = B_0B_1 - A_0A_1$
И у меня тогда две версии насчёт экстремали: либо она любая, либо её не существует. Необходимо ли проверять условие существования экстремали? Если оно само по себе существует, конечно.

[Someone]

Ну какая-то достаточно гладкая кривая, соединяющая граничные точки, существует? Прямая, например. (Имеется в виду, конечно, график функции.)

[1r0pb]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #954841 писал(а):

Прямая, например. (Имеется в виду, конечно, график функции.)

Ну не факт же, что $A_{1}=B_{1}.$

[Someone]

1r0pb в сообщении #954856 писал(а):

Someone в сообщении #954841 писал(а):

Прямая, например. (Имеется в виду, конечно, график функции.)

Ну не факт же, что $A_{1}=B_{1}.$

Вы правы, невнимательно посмотрел. Пусть будет многочлен третьей степени.