Чем отличается вектор от ковектора?

[netang]

Читаю учебник Р. А. Шарипова - "Быстрое введение в тензорный анализ".

Цитата:

Теперь представим себе, что мы имеем некоторый объект, который задается
тремя числами в каждом базисе, и эти числа удовлетворяют некоторым
правилам преобразования при замене базиса, но эти правила отличаются от
(6.2) и (6.5). Возможно ли это ? Каждый может попытаться найти подобный
объект в природе. Однако, в математике мы имеем другую возможность.
Мы можем построить такой объект мысленно, затем изучить его свойства, и
наконец поискать представлен ли он каким-либо образом в природе.

$\tilde{x^{j}} = \sum\limits_{i=1}^3 T^{j}_{i} x^i$ (6.2)
$x^{j} = \sum\limits_{i=1}^3 S^{j}_{i} \tilde{x^i}$ (6.5)
Не понятно чем отличается вектор от ковектора. Имеется ввиду, что можно использовать например, такое $\tilde{x^{j}} = \sum\limits_{i=1}^{3} 2\cdot T^{j}_{i} x^{i}$ (*) правило преобразования? Если да, то по какому правилу будет вычисляться координата $x^{j}$ для (*)?

[Brukvalub]

У вектора и ковектора разные законы преобразования компонент при переходе к новому базису. А "хфилософствования" Шарипова, подобные приведенному выше, лучше пропускать, они только запутывают.

[provincialka]

Ковектор от вектора отличаются примерно как вектор-строка от вектора-столбца.

Рассмотрим уравнение плоскости в виде $A^1x_1+A^2x_2+A^3x_3=0$. Здесь $(x_1,x_2,x_3)$ можно рассматривать как координаты некоторого вектора. А что такое $(A^1,A^2,A^3)$?
Пусть $x_i=\sum T_i^j y_j$. Подставьте в уравнение плоскости и посмотрите, как изменятся $A^i$

[мат-ламер]

Ковектор - это линейный функционал, заданный на векторном пространстве. Общий вид такого функционала записывается через скалярное произведение. Если Шарипов труден, можно почитать какой-нибудь учебник линейной алгебры типа Гельфанда.

[netang]

Что-то я совсем запутался. Но ничего сейчас распутаюсь.
Если рассматривать $(x_1, x_2, x_3)$ как координаты некоторого вектора в стандартном базисе $e_1 = (1, 0, 0); e_2 = (0, 1, 0); e_3 = (0, 0, 1)$, то $(A^1, A^2, A^3)$ есть вектор перпендикулярный к этому вектору, учитывая уравнение, которое есть скалярное произведение.

Цитата:

Ковектор - это линейный функционал, заданный на векторном пространстве.

То есть, он каждому обычному вектору ставит в соответствие число?

[provincialka]

netang в сообщении #954685 писал(а):

есть вектор перпендикулярный к этому вектору,

Это просто некий набор чисел, задающий плоскость. А левая часть, $A^1x_1+A^2x_2+A^3x_3$ и есть линейный функционал.
Ортогональность тут не важна, важно, как преобразуются координаты.

provincialka в сообщении #954578 писал(а):

Пусть $x_i=\sum T_i^j y_j$. Подставьте в уравнение плоскости и посмотрите, как изменятся $A^i$

От координат $x_i$ мы переходим к новым координатам $y_j$. Как нужно преобразовать коэффициенты, чтобы значение функционала сохранилось?

(ортогональность)

То, что ковектору $A^i$ можно поставить в соответствие вектор, ортогональный плоскости - это уже следствие, связанное с дополнительной структурой на аффинном пространстве.

[arseniiv]

мат-ламер в сообщении #954663 писал(а):

Общий вид такого функционала записывается через скалярное произведение.

А запишите-ка такой функционал от многочленов, берущий сумму их коэффициентов, с помощью скалярного произведения.

[netang]

provincialka в сообщении #954705 писал(а):

Это просто некий набор чисел, задающий плоскость.

Мне это ясно, я думал, Вы хотите чтобы я нашел какое-то соответствие между $(x_1, x_2, x_3)$ и $(A^1, A^2, A^3)$.

provincialka в сообщении #954578 писал(а):

Пусть $x_i=\sum T_i^j y_j$. Подставьте в уравнение плоскости и посмотрите, как изменятся $A^i$

$A^1\sum T_1^jy_j+A^2\sum T_2^jy_j+A^3\sum T_3^jy_j = A^1(T_1^1y_1+T_1^2y_2+T_1^3y_3) + A^2(T_2^1y_1+T_2^2y_2+T_2^3y_3) + A^3(T_3^1y_1+T_3^2y_2+T_3^3y_3) = A^1T_1^1y_1+A^1T_1^2y_2+A^1T_1^3y_3 + A^2T_2^1y_1+A_2T_2^2y_2+A_2T_2^3y_3 + A^3T_3^1y_1+A^3T_3^2y_2+A^3T_3^3y_3 = (A^1T_1^1 + A^2T_2^1+A^3T_3^1)y_1 + (A^1T_1^2 + A^2T_2^2+A^3T_3^2)y_2 + (A^1T_1^3 + A^2T_2^3+A^3T_3^3)y_3 = 0$
Правило преобразования: $\sum A^jT_j^i$ ?

[provincialka]

netang в сообщении #954751 писал(а):

Правило преобразования: $\sum A^jT_j^i$ ?

Именно. Вроде матрица перехода та же, но используется несколько по-другому. Вектор в данном случае можно считать столбцом, тогда умножение на матрицу будет слева. А ковектор - строкой, умножается на матрицу справа.

[Munin]

По-моему, проще всего взять, и представить себе градиент от какой-нибудь линейной функции. И сказать себе: "вот это - ковектор". Потом смотреть, как он меняется в разных базисах, и привыкать.

(Если функцию заменить на нелинейную, то получится не ковектор, а ковекторное поле - оно же дифференциальная 1-форма. Но не любая такая форма, а точная. Впрочем, представить себе любую - тоже можно легко: просто функция из точки пространства в множество ковекторов. Если пространство не линейное - то множество ковекторов строится на основе касательного линейного пространства в данной точке.)