Радиальная волновая функция. Поведение в начале координат

[BasilKrzh]

Здравствуйте.
Разбираюсь с повелением при $r \rightarrow 0$ решений радиального уравнения Шрёдингера:
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}R(r)\right)+\left(\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m}\frac{1}{r^2}+V(r)-E\right)R(r)=0$,
$\int\limits_0^{\infty}|R(r)|^2r^2dr<\infty$ (нормировка).

Меня интересует граничное условие для функции $\chi(r)=rR(r)$ в 0.
Обычно (в большинстве книжек, которые я просмотрел), рассуждения строятся следующим образом:

предположим, что $\lim\limits_{r\to 0}\left( r^2V(r)\right)=0$
и представим, что $R(r)\sim r^{s}$ при $r \rightarrow 0$. Тогда при подстановке такой асимптотики в уравнение можно приравнять к 0 коэффициент при $r^{s-2}$, получим, что $s=l \vee s=-(l+1)$ .
При $l>0$ очевидно, что решение с асимптотикой $\sim r^{-(l+1)}$ ненормируемо, остаётся только асимптотика $\sim r^{l}$, при этом $R(0)=0$
При $l=0$ приводятся разные рассуждения, требуют либо конечности среднего значения кинетической энергии, либо неожиданно вспоминаем, что мы работаем в обобщённых функциях и подставляя решения с такой асимптотикой в полное стационарное уравнение Шрёдингера, получаем $\Delta \frac{1}{r}=-4\pi\delta(\vec{r})$. При если потенциал не содержит подобной сингулярности, то решение с такой асимптотикой не подходит.
Таким образом, подходит только $s=l$ и $\chi(0)=0$

Случай $\lim\limits_{r\to 0}\left( r^2V(r)\right)= \operatorname{const}$ подробно разобран в ЛЛ-3 (п. 35). Показано, что решение расходится при $r \to 0$, но не быстрее, чем $\frac{1}{\sqrt{r}}$. Таким образом, $\chi(0)=0$

Но вот случай, когда потенциал расходится в 0 быстрее, чем $\frac{1}{r^{2}}$. В ЛЛ-3 (задача к п. 49) показано с помощью квазиклассического приближения, что $R(r)\sim r^{n/4-1}$ (в случае притягивающего потенциала), где $n>2$ - порядок роста потенциала при $r \to 0$. Однако, при этом используется граничное условие $\chi(0)=0$, которое взялось непонятно откуда.
Подскажите, пожалуйста, как аккуратно разобрать последний случай?

[Red_Herring]

BasilKrzh в сообщении #954240 писал(а):

Случай $\lim\limits_{r\to 0}\left( r^2V(r)\right)= =\gamma=\operatorname{const}$ подробно разобран в ЛЛ-3 (п. 35)

Но вот случай, когда потенциал расходится в 0 быстрее, чем $\frac{1}{r^{2}}$
Подскажите, пожалуйста, как аккуратно разобрать последний случай?

Понимаете, чтобы это сделать следует математически аккуратно определить, с чем же мы имеем дело. ЛЛ этого не делают, что не приводит к серьезным последствиям если $\gamma < \frac{1}{4}$ (т.е. потенциал либо слабее в $0$ чем $1/r^2$, либо такой же, но с не слишком большой константой, либо притягивающий. А вот чтобы случай когда потенциал притягивающий и $\gamma > \frac{1}{4}$ (вкл. $+\infty$), более хитрый. Это уже видно из того, что "бесконечное число отрицательных собственных значений, стремящихся к $-\infty$".

Знаете ли Вы математически строгое определение самосопряженного оператора (не по ЛЛ, а по учебникам Бирмана—Соломяка "Спектральная теория…", Рида—Саймона и т.д.)? Чем отличается неограниченный самосопряженный оператор от симметрического? Что такое самосопряжнное расширение? Преобразование Кэли и индексы дефекта?


Если да, то можно обсудить. Если нет, то придется объяснить вкратце сначала

[Munin]

Объясните для меня, хотя бы :-)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #954379 писал(а):

Объясните для меня, хотя бы

Итак, у нас есть неограниченный оператор $A$ в гильбертовом пр-ве $H$; у него есть область (определения) $D(A)$. В определениях ниже мы предполагаем, что $A$ замкнутый оператор.
Определение 1 $A^*$ определяется следующим образом: если $(Au,v)$ при данном $v\in H$ будет ограниченным линейным функционалом отн-но $u$, то по теореме Рисса существует $g\in H$ такой что $(Au,v)=(u,g)$ и тогда мы объявляем что $v \in D(A^*)$ и $A^*v=g$. Потому

$$(Au,v)=(u,A^*v)\qquad \forall u\in D(A) \forall v\in D(A^*).$$

Определение 2 $A$ симметрический если $A^*\supset A$ т.е. $D(A^*)\supset D(A)$ и на $D(A)$ они совпадают; другими словами если

$$(Au,v)=(u,Av)\qquad \forall u\in D(A) \forall v\in D(A).$$

Определение 3 $A$ самосопряженный если $A^*= A$, т.е. он симметрический и $D(A^*)= D(A)$.

Всякие спектральные теоремы и порождение групп имеют место только для самосопряженных операторов.

(Вставка)

Речь идет о самосопряженных против симметрических и никакие другие операторы не обсуждаются. Но чтобы отмести все другие операторы, порождающие группы добавим: порождение групп унитарных операторов: $e^{itA}$.

У этих операторов $\operatorname{Ker} (A^*+i)=\operatorname{Ker} (A^*-i)=\{0\}$, а у симметрических хотя бы одно из ядер нетривиально (что означает, что такие операторы имеют непустой остаточный спектр). При этом $\operatorname{dim} \operatorname{Ker} (A^*\pm i)$ называются индексами дефекта; если они равны то симметрический оператор можно расширить до самосопряженного т.е. найдется $B$ т.ч. $A\subset B=B^*\subset A^*$ (и наоборот). Однако это расширение неединственно.

Кроме того, если симметрический оператор $A$ полуограничен снизу т.е.

$$(Au,u)\ge -C\|u\|^2\qquad \forall u\in D(A) $$

то у него есть самосопряженное расширение по Фридрихсу, которое имеет ту же нижнюю грань $-C$.

Ну разумеется ЛЛ такими деталями не озабачиваются. Но если $\gamma \le \frac{1}{4}$, то $-\Delta -\gamma r^{-2}$ неотрицателен, и тогда есть расширение по Фридрихсу и его то и изучают оне (не поминая по имени), а при $\gamma > \frac{1}{4}$ он неполуограничен снизу. Да, конечно, поскольку он вещественен (переводит вещественнозначные функции в вещественнозначные) и потому у наивно определенного симметрического оператора (например, требуем дополнительно, чтобы функции обращались в $0$ в окрестности $0$ и потом замыкаем оператор) есть самосопряженное расширение, но увы не одно и оттуда и лезут всякие допусловия. Здесь кстати совсем неважно рассматриваем ли мы все или только сферически симметричные функции в $\mathbb{R}^3$.

Если же рассмотреть более общие потенциалы с сингулярностью в $0$ и с пределом $\lim _{r\to 0}U( r)r^2=\gamma$ (конечным или бесконечным), то ответ будет тем же, только при $\gamma=\frac{1}{4}$ будет неопределенность.

Поэтому чтобы ответить на вопросы ТС следует аккуратно определить оператор в сомнительных случаях.

-- 30.12.2014, 03:06 --

Следует добавить

Определение 4 Оператор $A$ замкнутый если $u_n\to u$, $Au_n\to f$ следует что $u\in D(A)$ и $Au=f$.

Определение 5 Если $A$ незамкнутый, то определим замыкание $A$ так: $u_n\to u$, $Au_n\to f$ то $u\in D(\bar{A})$ и $\bar{A}u=f$.

Разумеется, может оказаться что $u_n\to 0$, $Au_n\to f\ne 0$ и тогда оператор $A$ не имеет замыкания. Можно показать, что симметрический оператор всегда замыкаем. В определениях 1--3 можно опустить условие "замкнутый". Самосопряженный оператор автоматически замкнутый.

Определение 6 Симметрический оператор $A$ существенно самосопряжен, если $\bar{A}$ самосопряжен.

[Munin]

Поскольку я всегда был тупицей, то можно ещё примеры на все определения? Спасибо большое!

[Oleg Zubelevich]

Munin
у меня есть подозрение, что Вам пятого тома Смирнова за глаза хватит. (Курс высшей математики) во-всяком случае после него можно перейти к Функциональному анализу Иосиды.

-- Вт дек 30, 2014 12:55:02 --

Red_Herring в сообщении #954399 писал(а):

$A^*$ определяется следующим образом: если $(Au,v)$ при данном $v\in H$ будет ограниченным линейным функционалом отн-но $u$,

на каком пространстве будет ограниченным линейным функционалом?

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #954399 писал(а):

Всякие спектральные теоремы и порождение групп имеют место только для самосопряженных операторов

а что такое "порождение групп"?

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #954446 писал(а):

на каком пространстве будет ограниченным линейным функционалом?

На области определения $A$ с нормой, индуцированной из $H$.

-- Вт, 30 дек 2014 03:48:25 --

Oleg Zubelevich в сообщении #954446 писал(а):

у меня есть подозрение, что Вам пятого тома Смирнова за глаза хватит. (Курс высшей математики) во-всяком случае после него можно перейти к Функциональному анализу Иосиды.

Для нужд квантовой механики нужны самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Лучше Рид—Саймон или, если нужны детальные доказательства, то Бирман—Соломяк.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #954474 писал(а):

На области определения $A$ с нормой, индуцированной из $H$.

тогда как он теорему Рисса применяет, когда область определения может быть даже не замкнутой? Не говоря о том, что этих функционалов по теореме Рисса может быть сколько угодно. Пока корректного определенния у Red_Herring не просматривается. Плотность области определения предполагать следовало, я собственно к этому.

g______d в сообщении #954474 писал(а):

Для нужд квантовой механики нужны самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве

они есть у Смирнова

g______d в сообщении #954474 писал(а):

Лучше Рид—Саймон

мне эта книжка всегда казалась странной

[Red_Herring]

Munin в сообщении #954440 писал(а):

то можно ещё примеры на все определения? Спасибо большое!

Рассмотрим очень простой пример: у нас есть только одно пр-во, а именно $H=L^2([0,1];\mathbb{C})$ (в дальнейшем я рассматриваю только комлексные пр-ва) и на нем мы задаем оператор $Au=-u''$. Сначала из соображений осторожности мы его задаем с $D(A)=\{ u\in C^2 ([0,1]): u(0)=u'(0)=u''(0)=u(1)=u'(1)=u''(1)=0\}$.

Такой оператор, очевидно, симметричен, но незамкнут. Замыкание его дает оператор $B=\bar{A}$, $Bu=-u''$ с $D(B)=\{ u\in L^2 ([0,1]): u''\in L^2(0,1), u(0)=u'(0)=u(1)=u'(1)=0\}$.

Этот оператор замкнут и симметричен, но несамосопряжен; $B^*u=-u''$ с $D(B^*)=\{ u\in L^2 ([0,1]): u''\in L^2(0,1)\}$. Легко видеть, что оба индекса дефекта (т.е. размерности ядер $(B^*\pm i)$) у $B$ равны 2 и потому он допускает самосопяженное расширение.

1) Прежде всего это расширение по Фридрихсу: $Cu=-u''$ с $D(C)=\{ u\in L^2 ([0,1]): u''\in L^2(0,1), u(0)=u(1)=0\}$. Но есть и другие;
2) на любом конце условие Дирихле $u=0$ можно заменить на условие Неймана $u'=0$ или Робена $u'-a u=0$ с $a\in \mathbb{R}$;
3) Можно наложить условие периодичности $u(1)=u(0), u'(1)=u'(0)$ или квазипериодичности $u(1)=e^{ik}u(0), u'(1)=e^{ik}u'(0)$ с $k\in \mathbb{R}$;
4) а тем кому хочется совсем общности можно рассмотреть "нефизические" (в том смысле, что я не знаю, где они встречаются) $u'(0)=au(0) +(b+ic)u(1), u'(1)= du(1)-(b-ic)u(0)$ с с $a,b,c,d\in \mathbb{R}$. То, что должно быть 4 вещественных параметра следует из того что $U(2)$ четырехмерно.

А то, что надо рассматривать именно $U(2)$ следует из того, что оба индекса дефекта у $B$ равны 2 ну и теории преобразования Кэли.

Сколько отрицательных собственных значений может иметь $C$? От 0 до 2 (и все получается уже на условиях Робена).

Наконец, если мы рассмотрим оператор $C$ описанный выше, но сузим его область, наложив условие $u\in C^2( [0,1])$, то получим симметрический незамкнутый оператор $E$, но замыканием его будет $C$ и поэтому $E$ будет существенно самосопряженным.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #954493 писал(а):

тогда как он теорему Рисса применяет, когда область определения может быть даже не замкнутой?

Область определения плотна в $H$ и функционал ограничен, поэтому его можно продолжить по непрерывности на всё пространство.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #954505 писал(а):

Область определения плотна в $H$

у него это не написано

[Red_Herring]

Я думаю что БС и РС невзаимозаменяемы. Когда-то мне очень нравился Ахиезер, но я не уверен, что почитав его сейчас я испытывал те же чувства.

(Оффтоп)

Перечитывая Дьедонне спустя 45 лет я недоумевал, как я мог такое читать.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #954493 писал(а):

они есть у Смирнова

Если я не ошибаюсь, пятый том снова писали как раз то ли Бирман, то ли Соломяк, то ли оба. Их книга лучше просто по всем параметрам.

Oleg Zubelevich в сообщении #954493 писал(а):

мне эта книжка всегда казалась странной

Если нужны книги по спектральной теории оператора Шредингера, то выбор не такой большой.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #954511 писал(а):

пятый том снова писали как раз то ли Бирман, то ли Соломяк, то ли оба.

чего не узнаешь

Red_Herring в сообщении #954399 писал(а):

Всякие спектральные теоремы и порождение групп имеют место только для самосопряженных операторов.

это, кстати, еще один ляпсус, как я понимаю. Во всяком случае, если под "порождение групп" понимать решение уравнений $
dot x=Ax$