2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Признак сходимости ряда
Сообщение30.12.2014, 00:35 
Читаю Чандрасекхарана "Введение в аналитическую теорию чисел". Там доказывается сходимость ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty} {\frac{\chi(n)}{n^s}}$ при $s = \sigma + it$ и $\sigma > 0$.
Доказывается она следующим образом: сначала показывают, что $\sum \limits_{n \le x} { \chi (n)}$ ограничена, а потом просто говорят, что из этого и монотонного убывания и стремления к нулю $n^{-\sigma}$ напрямую следует сходимость ряда.
Я не понимаю, как работает это доказательство.

То есть, видимо, есть какая-то теорема с формулировкой, подобной следующей: если последовательность частичных сумм $a_n$ ограничена и функция $f(n)$ монотонно убывает и стремится к нулю при $n \to \infty$, то ряд $\sum \limits_{n=1}^{\infty} {a_n f(n)}$ сходится.
Такой теоремы раньше не встречал. Буду благодарен за ссылки на описание и доказательство. Или я что-то неправильно понял - тогда объясните, пожалуйста, это доказательство из Чандрасекхарана.

 
 
 
 Re: Признак сходимости ряда
Сообщение30.12.2014, 00:37 
Аватара пользователя
Признак Дирихле.

 
 
 
 Re: Признак сходимости ряда
Сообщение30.12.2014, 11:57 
Если последовательность частичных сумм $a_n$ ограничена и поледовательность $b_n$ имеет ограниченную вариацию
($\sum \limits_{n=1}^{\infty} |b_{n+1}-b_{n}|$ сходится)и стремится к нулю при $n \to \infty$, то ряд $\sum \limits_{n=1}^{\infty} {a_n b_n}$ сходится.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group