Дельта-функция

[Terraniux]

1. Скажите пожалуйста, почему нельзя вывести преобразование Фурье $\delta$-функции через свойство преобразования Фурье свертки: $\mathcal{F}[f*g]=\sqrt{2\pi}\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]$ и свойство дельта-функции $(f*\delta)(x)\equiv f(x)$? Тогда отсюда сразу получаем, что $\mathcal{F}[\delta]=1/\sqrt{2\pi}$.
2. Как выразить производную функции Кантора через дельта-функцию?

[arseniiv]

2. По идее должно быть никак, т. к. у любой точки в области определения функции Кантора есть окрестность со сколь угодно малым изменением функции на ней.

[Terraniux]

arseniiv в сообщении #954296 писал(а):

2. По идее должно быть никак, т. к. у любой точки в области определения функции Кантора есть окрестность со сколь угодно малым изменением функции на ней.

А как тогда выразить производную этой функции вообще?
Кстати, а что Вы думаете по поводу 1)? Интересно ли, корректно ли такое доказательство.

[arseniiv]

Terraniux в сообщении #955313 писал(а):

А как тогда выразить производную этой функции вообще?

Так, чтобы интегрированием получилась функция Кантора? Не знаю, особо про обобщённые функции не читал.

Про 1 я ничего особо интересного/уверенного не думаю (потому молчал). Если преобразование Фурье от обобщённых функций вы перед этим уже определили и доказали, что теорема о свёртке остаётся верна, то ничего не должно бы мешать таким способом найти образ дельты.

[Red_Herring]

Как известно любая монотонная функция (и функция ограниченной вариации) представляется в виде суммы трех: функции скачков (и ее производная есть сумма конечного или счетного числя $\delta$–функций с коэффициентами), абсолютно непрерывной функции (и ее производная в классическом смысле существует п.в., принадлежит $L^1$ и совпадает с производной в смысле обобщенных функций) и сингулярно непрерывной (типа функции Кантора. Не имеет смысла выражать ее производную через что-то