Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005

[provincialka]

Угу. Вы поняли, почему?
Кстати, до ответа можно было догадаться, если взять вместо 2005 маленькие степени и посчитать.

[Evgenjy]

timber в сообщении #953952 писал(а):

И в итоге, получается 2006 цифр.

Это ответ, и ответ правильный, а есть ли решение?

[timber]

Можно, наверное, рассуждать так. Чтобы оценить количество цифр $n$ числа $a^b$, нужно найти ближайшее в большую сторону $10^n$. Например, $2^3=8\sim10^1$, $2^4=16\sim10^2$, $2^8=256\sim10^3$ и т.д.

$a^b=10^n$, $\log(a^b)=\log(10^n)$, $b\log(a)=n\log(10)=n$.
$n=\left\lfloor2005\log(2)+2005\log(5)\right\rfloor+1=2005 \log(10)+1$

[Evgenjy]

timber в сообщении #953968 писал(а):

$n=\left\lfloor2005\log(2)+2005\log(5)\right\rfloor+1=2005 \log(10)+1$

Я не вижу здесь строгого решения. Попробуйте не используя целую часть сделать через десятичные логарифмы двухстороннюю оценку количества цифр для степени двойки и для степени пятерки.

[provincialka]

timber
Мы для чего старались, подсказывали вам? Ну-ка напишите условие "число $2^n$ имеет $k$ цифр", используя степени десятки. То же для числа $5^n$.

[timber]

provincialka в сообщении #953983 писал(а):

timber
Мы для чего старались, подсказывали вам? Ну-ка напишите условие "число $2^n$ имеет $k$ цифр", используя степени десятки. То же для числа $5^n$.

Не понимаю, что Вы хотите, чтобы я сделал?

[ИСН]

timber в сообщении #953968 писал(а):

$n=\left\lfloor2005\log(2)+2005\log(5)\right\rfloor+1=2005 \log(10)+1$

У Вас здесь написано (с мелкой ошибкой - палочки нужны не такие, у Вас же в тексте сказано, что "в большую сторону", вот так и надо), что произведение $2^{2005}\cdot5^{2005}$ имеет 2006 цифр. Спасибо, но вопрос-то был не в этом. Это и так очевидно.

[timber]

ИСН в сообщении #954038 писал(а):

timber в сообщении #953968 писал(а):

$n=\left\lfloor2005\log(2)+2005\log(5)\right\rfloor+1=2005 \log(10)+1$

У Вас здесь написано (с мелкой ошибкой - палочки нужны не такие, у Вас же в тексте сказано, что "в большую сторону", вот так и надо), что произведение $2^{2005}\cdot5^{2005}$ имеет 2006 цифр. Спасибо, но вопрос-то был не в этом. Это и так очевидно.

Правильно ли я понимаю, что такое решение - это не то, на что Вы намекали?

[ИСН]

Нет, это то, только от другой задачи: доказать, что в произведении 2006 цифр. Это Вы доказали; но это и так ясно, а нужно-то было нечто иное!

[timber]

ИСН в сообщении #954057 писал(а):

Нет, это то, только от другой задачи: доказать, что в произведении 2006 цифр. Это Вы доказали; но это и так ясно, а нужно-то было нечто иное!

Что именно-то было нужно? Я показывал не произведение чисел, а сумму цифр чисел.

[ИСН]

Было нужно ставить одну ногу на поверхность, потом делать шаг другой ногой. Сумма цифр числа 125 равна $1+2+5=8$, например. Сумма цифр не нужна. Про сумму цифр никаких чисел в этой задаче не упоминал никто и никогда. Откуда вдруг теперь? Хотите об этом поговорить?

[timber]

ИСН в сообщении #954099 писал(а):

Было нужно ставить одну ногу на поверхность, потом делать шаг другой ногой. Сумма цифр числа 125 равна $1+2+5=8$, например. Сумма цифр не нужна. Про сумму цифр никаких чисел в этой задаче не упоминал никто и никогда. Откуда вдруг теперь? Хотите об этом поговорить?

Ах, да. Вы правы. Сумма количества цифр двух чисел. Видно каким-то магическим, пока что только для меня, образом эта сумма превращается в произведение двух чисел.

[ИСН]

Вот-вот. В этом и нюанс. Чему равно количество цифр в числе $n$? Известно, чему: $\lfloor\log n\rfloor+1$. Записано у Вас подобное выражение? Записано, спору нет. Для какого числа? А надо было для каких?

[timber]

ИСН в сообщении #954109 писал(а):

Вот-вот. В этом и нюанс. Чему равно количество цифр в числе $n$? Известно, чему: $\lfloor\log n\rfloor+1$. Записано у Вас подобное выражение? Записано, спору нет. Для какого числа? А надо было для каких?

Подождите. Ну разве для числа $2^{2005}$ логарифм $\log 2^{2005}$ не равен $2005 \cdot\log 2$?

[ИСН]

Безусловно, равен. И что? Чему, значит, равно количество цифр в этом числе? А в том, другом?