Вопрос по теории групп

[Sergiy_psm]

Можно ли считать преобразование $ x' = x + a + a^2 $
группой, ведь у него два обратных элемента?

[Brukvalub]

Sergiy_psm писал(а):

Можно ли считать преобразование $ x' = x + a + a^2 $
группой, ведь у него два обратных элемента?

Как одно не единичное преобразование может быть группой? Интересно, а определение группы Вы уже выучили?

[Sergiy_psm]

Извините, не специалист. Имеется ввиду преобразования. Или есть еще замечания?

[Профессор Снэйп]

Sergiy_psm писал(а):

Извините, не специалист. Имеется ввиду преобразования. Или есть еще замечания?

У меня есть только одно замечание. Вопрос и последующее уточнение похожи на бред сивой кобылы.

Посмотрите для начала определение группы и поймите, что утверждение "у группы два обратных элемента" не может быть ложным или истинным, поскольку представляет из себя бессмысленный набор слов.

[Sergiy_psm]

Тогда, что имеется ввиду?

[Профессор Снэйп]

Ну и где Вы там нашли два обратных элемента?

Что имеется в виду из этого отрывка совершенно непонятно. Например, что такое $\varphi(a,b)$? Наверное, это определяется где-то раньше того отрывка, который Вы приводите. Мы тут не обладаем сверхестественными способностями и не можем прочесть на расстоянии, что там за $\varphi$ такое. Откуда $a$ и $x$ берутся? При чём тут обратный элемент к $a$ если $a$ --- это параметр, задающий отображение? По какому предмету хоть задача-то?

[Sergiy_psm]

x' = x + a + a^2 - однопараметрическая группа переносов вдоль оси ОХ
a - параметр

Я, наверное, смешал понятие параметра и преобразования, которому соответствует параметр. Обратное преобразование это преобразование
T_a^{ - 1}. Тогда, может быть правильней вопрос поставить следующим образом:
Может ли одному преобразованию соответствовать два параметра? В таком случае можно ли считать его группой?

\[ \phi (a,b) \]

меня не интересует, скажем, это пока неважно.

[Профессор Снэйп]

Sergiy_psm писал(а):

Тогда, может быть правильней вопрос поставить следующим образом:
Может ли одному преобразованию соответствовать два параметра?

Почему нет? Что Вас тут смущает?

Sergiy_psm писал(а):

В таком случае можно ли считать его группой?

Опять пургу гнать начинаете!

Одно преобразование не есть группа. Группой является совокупность преобразований в целом (относительно композиции, надо полагать). Ваше "его" совершенно неуместно.

В Вашем случае семейство преобразований группой не является, но отнюдь не потому, что двум различным $a$ может соответствовать одно и то же преобразование $T_a$. А не является оно потому, что $a + a^2$ принимает сколь угодно большие значения и не может принимать сколь угодно малые. При достаточно больших $a$ к преобразованию $T_a$ не найдётся обратного (то есть не найдётся параметра $b$, для которого $T_a^{-1} = T_b$).

Это если параметры из $\mathbb{R}$ берутся. А если откуда-то ещё, например, из множества $\{ z \in \mathbb{C} : z + z^2 \in \mathbb{R} \}$, то тогда может являться. Но это всё опять же если Вы ничего не напутали (а Вы, судя по всему, абсолютно не шарите в теме и запросто можете делать это до бесконечности) и речь действительно идёт о сдвигах относительно оси $Ox$. (А что сдвигается? Комплексная плоскость, надо полагать).

Короче, на ночь глядя вредно расшифровывать ребусы. Так что пойду я лучше отсюда

[Sergiy_psm]

Профессор Снэйп писал(а):

...а Вы, судя по всему, абсолютно не шарите в теме

Да, вы правы, только взялся за изучение. Спасибо что подсказали.

[Macavity]

Sergiy_psm писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

...а Вы, судя по всему, абсолютно не шарите в теме

Да, вы правы, только взялся за изучение. Спасибо что подсказали.

С одной стороны это прекрасно, что Вы взялись за изучение. Ибо, как говорил царь Борис в трагедии А.С. Пушкина "Борис Годунов":

Цитата:

Учись, мой сын: наука сокращает нам опыты быстротекущей жизни...

Хотя, должен признать, что сама по себе наука подчас очень непроста и требует часто определенных, а иногда и более чем определенных усилий. Как сказал Мефистофель в трагедии Гёте "Фауст":

Цитата:

Суха, мой друг, теория везде, а древо жизни пышно зеленеет!

В этом смысле учиться необходимо, думаю, на протяжении всей жизни...
Одно плохо - Вы неправильно сформулировали вопрос, Вы его вырвали из контекста. Вам бы сказать, что речь идет о группах Ли, а не скажем о группах Галуа. Вы же расчитываете на взаимопонимание. Ну и книжку, из которой пример взяли могли бы назвать, мол "Н.Х. Ибрагимов. Азбука группового анализа". Подумаешь, мы тут все, каждый, чему-то учимся, делов то.

Sergiy_psm писал(а):

Может ли одному преобразованию соответствовать два параметра?

Мне кажется, что в данной задаче все-таки один параметр - a.

Во-первых, тождественное преобразование, так как x'= x + a + a^2, то a=0 => x'=x, то есть a=0 и есть тождественное преобразование.

Теперь найдем a^{-1}

Если x' = x + a + a^2, то x = x' - a - a^2, но обратное преобразование, в теории, должно иметь тот же вид, что и прямое:
x = x' +b + b^2. Здесь по сути я обозначил a^{-1}=b, собственно это и надо найти: b+b^2=-a-a^2

b^2+b+(a+a^2)=0 Это квадратное уравнение и здесь по предварительным заключениям получается, что у каждого элемента группы - два обратных (Даже если это так, то это зачастую не беда, группы Ли часто являются локальными, то есть значение параметра лежит в некотором интервале a=0 - тождественного преобразования).

Я бы предложил бы Вам самому (как того требуют условия данного форума) выписать оба значения, а также проверить не накладывают ли ограничения на дискриминант, дополнительных ограничений на параметр.

Попробуйте также убедиться, что \varphi(a,b)=a^2+a+b^2+b

[Sergiy_psm]

Macavity писал(а):

Я бы предложил бы Вам самому (как того требуют условия данного форума) выписать оба значения, а также проверить не накладывают ли ограничения на дискриминант, дополнительных ограничений на параметр.

Попробуйте также убедиться, что \varphi(a,b)=a^2+a+b^2+b

Значения получаются из решения уравнения:

\[ x = x + (a + a^2 ) + (b + b^2 ) \]

Дискриминант:

\[ D = 1 - 4a - 4a^2 \ge 0 \]

Следовательно, на параметр налагается условие:

\[ a \in \left[ { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}; - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] \]

Корнями являются:

\[ a^{ - 1} = b_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt {1 - 4a - 4a^2 } \]

\[ \begin{array}{l} T_a T_b = T_{\phi (a,b)} \\ x'' = x' + b + b^2 = x + a + a^2 + b + b^2 = x + (a + a^2 + b + b^2 ) = x + \phi (a,b) \\ \end{array} \]

[Профессор Снэйп]

Бр-р-р... Что-то начинает вырисовываться. И чем яснее, тем всё хуже и хуже. Сделаю три замечания относительно написанного выше.

1) По-видимому, следует всё же различать параметр $a$ и задаваемое этим параметром отображение $T_a(x) = x + a + a^2$. Два разных параметра могут задавать одно и то же отображение, но ничего страшного в этом нет.

2) Если ограничить возможные значения параметра каким-то отрезком действительной прямой, то группа не получится. Точнее: каковы бы не были действительные числа $u < v$, семейство $\{ T_a : a \in [u,v] \}$ не является группой относительно композиции. Так что

Sergiy_psm писал(а):

Следовательно, на параметр налагается условие:

\[ a \in \left[ { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}; - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] \]

есть полная чепуха.

У меня такое подозрение, что в задаче предполагается $a \in \mathbb{C}$ и преобразования $T_a$ --- это сдвиги комплексной плоскости (не вдоль действительной оси, а в произвольном направлении). Тогда задача действительно приобретает смысл. В противном случае неминуемо получается какая-то ерунда (семейство преобразований оказывается не замкнутым относительно композиции).

3) Вот это вот также явная чепуха.

Sergiy_psm писал(а):

\[ \begin{array}{l} T_a T_b = T_{\varphi (a,b)} \\ x'' = x' + b + b^2 = x + a + a^2 + b + b^2 = x + (a + a^2 + b + b^2 ) = x + \varphi (a,b) \\ \end{array} \]

Второе противоречит первому. Из первого следует, что должно выполняться равенство $a+a^2+b+b^2 = \varphi(a,b) + \varphi^2(a,b)$, а вовсе не равенство $a+a^2+b+b^b = \varphi(a,b)$. Так что либо первое равенство (которое я рассматриваю как определение функции $\varphi$) неверно, либо Вам придётся для нахождения этой функции квадратное уравнение решать.

[Sergiy_psm]

Профессор Снэйп писал(а):

2) Если ограничить возможные значения параметра каким-то отрезком действительной прямой, то группа не получится. Точнее: каковы бы не были действительные числа $u < v$, семейство $\{ T_a : a \in [u,v] \}$ не является группой относительно композиции.

Как здесь сказанно Азбука группового анализа Н.Х. Ибрагимова - эти преобразования не группа, а локальная группа. Для того, чтобы удовлетворить требованию композиции, a и b - каждый раз выбираются из некоторого подинтервала, содержащего a=0. Сам интервал может зависеть от преобразуемой точки.

Профессор Снэйп писал(а):

3) Вот это вот также явная чепуха.

Sergiy_psm писал(а):

\[ \begin{array}{l} T_a T_b = T_{\varphi (a,b)} \\ x'' = x' + b + b^2 = x + a + a^2 + b + b^2 = x + (a + a^2 + b + b^2 ) = x + \varphi (a,b) \\ \end{array} \]

Второе противоречит первому. Из первого следует, что должно выполняться равенство $a+a^2+b+b^2 = \varphi(a,b) + \varphi^2(a,b)$, а вовсе не равенство $a+a^2+b+b^b = \varphi(a,b)$. Так что либо первое равенство (которое я рассматриваю как определение функции $\varphi$) неверно, либо Вам придётся для нахождения этой функции квадратное уравнение решать.

На это возражение, пока не могу ответить. Если решить квадратное уравнение
$a+a^2+b+b^2 = \varphi(a,b) + \varphi^2(a,b)$ то получается \varphi(a,b), которая противоречит условиям (1.4) из книги, а именно \varphi(a,0)=a и \varphi(0,b)=b.

[Macavity]

Sergiy_psm писал(а):

Macavity писал(а):

Я бы предложил бы Вам самому (как того требуют условия данного форума) выписать оба значения, а также проверить не накладывают ли ограничения на дискриминант, дополнительных ограничений на параметр.

Попробуйте также убедиться, что \varphi(a,b)=a^2+a+b^2+b

Значения получаются из решения уравнения:

\[ x = x + (a + a^2 ) + (b + b^2 ) \]

Дискриминант:

\[ D = 1 - 4a - 4a^2 \ge 0 \]

Следовательно, на параметр налагается условие:

\[ a \in \left[ { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}; - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] \]

Корнями являются:

\[ a^{ - 1} = b_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt {1 - 4a - 4a^2 } \]

\[ \begin{array}{l} T_a T_b = T_{\phi (a,b)} \\ x'' = x' + b + b^2 = x + a + a^2 + b + b^2 = x + (a + a^2 + b + b^2 ) = x + \phi (a,b) \\ \end{array} \]

Вы всё правильно написали, а неясности, если они и есть, связаны с путаницай в нотации, не более того.
Однако, у нас остался ещё один вопрос, а именно "плюс или минус":

\[ a^{ - 1} = b_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt {1 - 4a - 4a^2 } (*) \]

В нашем случае, это решается довольно просто. Существует только одно преобразование, обратное, к которому вычисляется мгновенно - это тождественное преобразование. Для этого преобразования a=0, а так как обратное ему тоже тождественное преобразование, то должно быть и b=0.

Если бы правильным был знак "минус", то в (*) b было бы равно -1, досадный случай - никуда не годится. А в случае "плюс" проблем нет b также равен нулю, то есть:

\[ a^{ - 1} = b = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {1 - 4a - 4a^2 } \]

Вы помните? Первое и второе свойство параметрической группы хоть и независимы, но должны быть согласованы, что и сделано выше.
Есть тут один нюанс: ну хорошо, для тождественного преобразования знак "плюс", а дальше по элементам непрерывной группы? Может где-то "минус"...
Исходя из соображений непрерывности, чтобы состоялся переход с "плюс" на "минус", надо, чтобы в точке перехода (элементе группы), значение b для формулы (*) c "плюсом" должно равняться значению b для формулы (*) с "минусом". Такое ограничение означает, что D=0, а нулю он равен только на границах интервала допустимости параметра a:

\[ a \in \left[ { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}; - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] \]

А это означает, что для нашей локальной группы -

\[ a^{ - 1} = b = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {1 - 4a - 4a^2 } \]

[Sergiy_psm]

Спасибо. Сам я бы сколько нюансов не подметил.