Ур-е в частных производных. Задача Коши

[Nurzery[Rhymes]]

Найти поверхность, удовлетворяющую заданному уравнению и проходящую через данную линию: $x\frac{\partial z}{\partial x} + z\frac{\partial z}{\partial y} = y$, $y=2z$, $x+2y=z$

Сначала решаю уравнение. Составляю систему в симметричной форме:

$\frac{dx}{x}=\frac{dy}{z} = \frac{dz}{y}$

1) Рассмотрим последние две дроби: $\frac{dy}{z} = \frac{dz}{y}$

$ydy=zdz$

$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}z^2 + C_1$

$y^2 - z^2 = C_1$

Нашли первый интеграл.

2) Рассмотрим все три дроби. Складываем все и получаем: $\frac{d(x+y+z)}{x+y+z}$

Приравниваем полученную дробь к первой: $\frac{d(x+y+z)}{x+y+z} = \frac{dx}{x}$

$x = x+y+z + C_2$

$y+z = C_2$

Теперь решаем задачу Коши. Интегральаня поверхность должна проходить через данную поверхность:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &y=2z& \\ &x+2y=z& \\ \end{array} \right.$

Почему-то нельзя первое уравнение подставить во второй вот так:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &y=2z& \\ &x=-3z& \\ \end{array} \right.$

В мейпле получается пересечение совсем других плоскостей.

Из второго уравнения выражу $x: x=z-2y$

Получаем:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &y=2z& (*)\\ &x=z-2y& (**)\\ \end{array} \right.$

Подставляем (*) и (**) в первые интегралы. Почему-то оказалось, что второй уравнение лишнее.

$C_1 = 4z^2 - z^2 = 3z^2$

$C_2 = 2z + z = 3z \Rightarrow z= \frac{1}{3}C_2$

$C_1 = 3z^2 = 3(\frac{1}{3}C_1)^2 = \frac{1}{3}C_{1}^2$

Я запутался. Есть ли ошибки? Что дальше делать?

[Red_Herring]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #953806 писал(а):

$x = x+y+z + C_2$

Ошибка. Неправильно проинтегрировано предыдущее уравнение

[Nurzery[Rhymes]]

Red_Herring в сообщении #953811 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #953806 писал(а):

$x = x+y+z + C_2$

Ошибка. Неправильно проинтегрировано предыдущее уравнение

Точно, вроде бы вот так правильно:

$\ln |x+y+z| = \ln |x| + \ln C_2$

$x+y+z = C_2 x$

Разделим обе части на $x$

$1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x} = C_2$

Решение задачи Коши у меня не доделано. Там хотя бы что-нибудь логически верно?

[Red_Herring]

Пока верно.

[Nurzery[Rhymes]]

Тогда едем дальше.

$C_2 = 1+ \frac{y}{x}+ \frac{z}{x}$

Вместо переменных $y$ и $x$ подставляем их выражение из начальных условий, которые такие:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &y=2z& \\ &x=z-2y& \\ \end{array} \right.$

$C_1 = 4z^2 - z^2 = 3z^2$

$C_2 = 1 + \frac{2z}{z-2y}+ \frac{z}{z-2y} = 1+ \frac{3z}{z-2y}$

Из первого выражаем $z = \sqrt{\frac{1}{3}C_1}$

Подставляем это выражение для $z$ во второе равенство:

$C_2 = 1 + \frac{3\sqrt{\frac{1}{3}C_1}}{\sqrt{\frac{1}{3}C_1} - 2y} = 1 + \frac{\sqrt{3 C_1}}{\sqrt{\frac{1}{3}C_1} - 2y}$

Выражение второй константы через функции подставляем во второй первый интеграл, заменив $C_1$ на $y^2 - z^2$:

$1+ \frac{y}{x}+ \frac{z}{x} = 1 + \frac{\sqrt{3(y^2 - z^2)}}{\sqrt{\frac{1}{3}(y^2 - z^2)} - 2y}$

Но это неправильно. Правильный ответ $x+y+z = 0$

[Red_Herring]

$1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x} = C_2$. ОК. И сразу сделали ошибку.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #953828 писал(а):

$C_2 = y+z$

[Nurzery[Rhymes]]

Нет там ошибки. Я нечаянно записал $C_2 = y+z$, но вычисления делал с $C_2 = 1+ \frac{y}{x}+ \frac{z}{x}$.

[Red_Herring]

Вы должны выразить $C_2$ через $C_1$ и только через $C_1$. А там у Вас торчит $y$ который должен быть выражен через $C_1$ ($y=2z=...$)

[Nurzery[Rhymes]]

$y=2z=\sqrt{\frac{4}{3}C_1}$

Выражаю $C_2$ только через $C_1$:

$C_2 = 1 + \frac{\sqrt{3C_1}}{\sqrt{\frac{1}{3}C_1} - 2\sqrt{\frac{4}{3}C_1}}$

Теперь надо сделать замену $C_1 = 3z^2$ и подставить выражение $C_2$ в $1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = C_2$?

-- 29.12.2014, 03:33 --

Ого, после этой подстановки и упрощения получилось, что $C_2 = 0$.

Стало быть, искомая функция имеет вид $1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 0$? После домножения на $x$ как раз получается тот ответ, который в задачнике. Но почему надо домножать? Поверхность имеет совсем другой вид, когда в знаменателе $x$. Она красивая, а в ответе просто плоскость. Какой из этих ответов правильный?

[Red_Herring]

Поверхность задана неявным уравнением $1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 0$ и это в точности и означает что $x+y+z=0$