Разложение рац. дроби на множители

[fronnya]

Есть такая теорема.
Пусть $a \in \mathbb{R}$ является корнем кратности $k$ знаменателя правильной рац. дроби $R(x)\frac{R(x)}{Q(x)}$, т.е. $Q=(x-a)^k \varphi(x)$ при чем $\varphi (x)\ne 0$, тогда справедливо

$$R(x)=\frac {P(x)}{(x-a)^k\varphi(x)}=\frac{A}{(x-a)^k}+\frac{P(x)}{(x-a)^{k-1}\varphi(x)}\eqno{(1)}$$

Доказательство
Представим $\frac{P(x)}{(x-a)^k\varphi(x)}$ в виде:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^k\varphi(x)}=\frac{A}{(x-a)^k}+\frac{P(x)-A\varphi(x)}{(x-a)^k\varphi(x)}\eqno{(2)}$$

Выберем $A$ такое, чтобы $\frac{P(x)-A\varphi(x)}{x-a}$ без остатка, т.е. по теореме Безу $P(a)-A\varphi(a)=0$, откуда сразу следует

$$A=\frac{P(a)}{\varphi(a)}\eqno{(2')}$$

ПОдставив (2') в (2), получаем

$$\frac{P(x)}{(x-a)^k}=\frac{P(a)}{(x-a)^k\varphi(a)}+\frac{P(x)-P(a)\frac{\varphi(x)}{\varphi(a)}}{(x-a)^k\varphi(x)}\eqno{(3)}$$

Я не могу понять, как из (3) следует (1).

[iifat]

Ну, попробуйте совместить первые дроби сумм. Что в них общего и чем они различаются?

[fronnya]

iifat в сообщении #953507 писал(а):

Ну, попробуйте совместить первые дроби сумм. Что в них общего и чем они различаются?

Я различия в них не вижу. Мы положили $A=P(a)/\varphi(a)$

[grizzly]

Ну, из (3) Вы никак не получите (1), потому что и то и другое набрано с опечатками (надеюсь). После исправления которых Вам нетрудно будет заметить, что уже получено разложение на сумму (неполное). А разложение на множители делается совсем по-другому.

-- 28.12.2014, 18:30 --

Что-то не пойму, а если просто (2) переписать используя обозначение $P_1(x)=\dfrac{P(x)-A\varphi(x)}{x-a}$, Вас это не устроит? Это после того уже, как нашли $A$.

[iifat]

fronnya в сообщении #953510 писал(а):

различия в них не вижу

Точно. Не заметил. То бишь, с первым слагаемым разобрались, да? Можно исправить описки и посмотреть внимательно на второе.

[fronnya]

И где там опечатки?

-- 28.12.2014, 17:53 --

Ааааааааааааааа, все, спасибо!