Минимальное число делителей

[Ktina]

Какое наименьшее количество делителей может иметь число вида

$$2^{n+2}7^n+1$$

при натуральном $n$?
(Сербия, республиканский этап, 2006)

[ИСН]

Ну 2 простых (и тем самым 4 всего) достигается, а меньше не будет, потому что они попеременно делятся то на 3, то на 5.

[Ktina]

ИСН
А про 3 забыли

-- 28.12.2014, 02:46 --

В смысле, про 3 делителя...

[Mihr]

3 делителя могут быть лишь у квадрата простого числа.
При чётных натуральных $n$ рассматриваемое число оканчивается цифрой 5 (и само заведомо больше 25), так что быть квадратом простого числа не может.
При нечётных оно оканчивается цифрой 7 и вообще быть квадратом не может.
Значит, 3 делителя исключаются.

[Ktina]

Mihr в сообщении #953348 писал(а):

При чётных натуральных $n$ рассматриваемое число оканчивается цифрой 5 (и само заведомо больше 25), так что быть квадратом простого числа не может.

И не только простого. Оно вообще не может быть квадратом, так как имеет вид $k^2+1$, но само больше 1.

[atlakatl]

При $n=1$ $ Q=57$ - делители 3 и 19
При $n=2$ $ Q=785$ - делители 5 и 157
Вообще $Q(n)=2^{n+2}\cdot7^n+1$ и разница между $Q(n)-Q(n-2)=2^{n+2}\cdot7^n+1-2^n\cdot7^{n-2}-1=4\cdot14^{n-2}\cdot(196-1)=4\cdot14^{n-2}\cdot195$
Эта разница делится на $3$ и на $5$ - т.к. $195$ на них делится.
Потому нечётные члены последовательности будут делиться на $3$, а чётные - на $5$.

Тогда минимальное число делителей - $3$ - включая $1$ - а не $4$ :

ИСН в сообщении #953344 писал(а):

(и тем самым 4 всего) достигается

[nnosipov]

atlakatl в сообщении #953456 писал(а):

Тогда минимальное число делителей - $3$ - включая $1$ - а не $4$

Уверены? И при каком $n$ будет ровно три делителя?

[atlakatl]

nnosipov в сообщении #953460 писал(а):

Уверены? И при каком $n$ будет ровно три делителя?

Уверен. Ровно $3$ делителя будет, например, при $n=1, 2, 3$.

[nnosipov]

При $n=1$ получим $57=3 \cdot 19$. У этого числа $4$ (четыре) натуральных делителя.

[atlakatl]

nnosipov в сообщении #953464 писал(а):

При $n=1$ получим $57=3 \cdot 19$. У этого числа $4$ (четыре) натуральных делителя.

Согласен. В задаче простота делителей не оговаривается. И $57$ делитель тоже.