Мат. анализ

[mellom]

Применяя формулу интегрирования по частям получить рекуррентную формулу для интеграла $I_n,n$\in$$\mathbb{N}$, и найти его значение.
$I_n=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x} x^n dx$
Ответ должен получиться более чем тривиальный:
$I_n=nI_{n-1}$
$I_n=n!$
Интегрировал по частям 2 раза, но понял, что это можно делать бесконечно, лишь увеличивается количество многочленов:
$u=x^n$
$du=nx^{n-1}dx $
$dv=e^{-x}dx $
$v=-e^{-x}$
$-x^ne^{-x}+\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}nx^{n-1}dx$
Мне не понятно каким образом использовать интегрирование по частям. И вообще каким образом решаются задачи такого типа.

[popolznev]

Вы же определённый интеграл по частям берёте, а значит, внеинтегральное слагаемое у вас не будет зависеть от $x$. Это будет число. А вот какое?

[1r0pb]

mellom, а где пределы при $-e^{-x}x^{n}\ ?$
Должен получиться нуль. Тогда и вылезет $I_{n}=nI_{n-1}.$

[mellom]

Спасибо, получилось! Действительно, забыл пределы при многочленах)