Независимость случайных величин

[Yulius]

Доброго времени суток!
Помогите пожалуйста доказать утверждение c) из следующей задачи:

Пусть $x$ и $y$ - независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение.
Доказать, что:
а) Величина $x^2+y^2$ распределена показательно с параметром $\lambda = \frac{1}{2}$
b) Угол $\varphi$ в полярных координатах распределен равномерно на отрезке $[-\pi, \pi]$
c) Данные случайные величины независимы

Первые два утверждения доказал через эквивалентность распределений. Для того, чтобы доказать утверждение с), пробовал определить закон распределения для $r = $\sqrt{x^2+y^2}$$ - тогда было бы очевидно, что пара $(r, \varphi)$ распределена так же, как пара $(x,y)$, и была бы известна плотность совместного распределения.
Заранее благодарен!

[Deggial]

Yulius, все формулы и термы и целиком оформляйте $\TeX$ом, иначе тема поедет в Карантин.

[ИСН]

Пара $(r,\varphi)$ никоим образом не может быть распределена так же, как пара $(x,y)$ - даже диапазоны другие.

[Александрович]

Цитата:

Для того, чтобы доказать утверждение с), пробовал определить закон распределения для $r = $\sqrt{x^2+y^2}$$ ...

Это распределение Релея.

[Yulius]

Правильный ли у меня ход мыслей: в случае независимости обозначенных случайных величин плотность их совместного распределения равна произведению плотностей распределения случайных величин $\varphi$ и $(x^2+y^2)$. При этом это равносильно тому, что плотность совместного распределения угла поворота $\varphi$ и углового расстояния $r = \sqrt{x^2+y^2}$ равна произведению плотностей распределения Рэлея и непрерывного равномерного распределения.
Это верно?
Я заранее извиняюсь за то, что мои предположения могут быть грубо ошибочны или глупы, у меня к сожалению нет систематического математического образования. Надеюсь, знающие люди помогут дойти до решения.

[ИСН]

Ну так и есть, чо. Находите эти распределения и вперёд. Но собственно, находить ничего не надо, всё и так видно.

[Yulius]

Произведение плотностей распределения полярного угла и углового расстояния:
$[\sqrt{x^2+y^2}\exp(-\frac{x^2+y^2}{2})][\frac{1}{\pi-(-\pi)}] = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2\pi}\exp(-\frac{x^2+y^2}{2})$
Плотность совместного распределения исходных случайных величин $x$ и $y$:
$\frac{1}{2\pi}\exp(-\frac{x^2+y^2}{2})$
Не сошлось. Подскажите пожалуйста, где ошибка?

[Otta]

C какого места начать? Ну давайте так. А чего это у Вас распределение квадрата длины радиус-вектора (явно одномерной случайной величины) зависит от двух переменных?

[Yulius]

Otta в сообщении #952786 писал(а):

C какого места начать? Ну давайте так. А чего это у Вас распределение квадрата длины радиус-вектора (явно одномерной случайной величины) зависит от двух переменных?

я мог бы записать $r$ вместо $\sqrt{x^2+y^2}$. Но поскольку по условию нам даны две независимые нормально распределенные случайные величины, то я решил выразить плотность в терминах исходных случайных величин. Это важно для решения задачи?

[Otta]

Это важно, да. Плотность найдена неверно.
Какую букву Вы напишете - разницы не будет совсем никакой, потому что плотность не знает, что такое $r$.

[Yulius]

Как я рассуждал:
1. радиус-вектор $r = \sqrt{x^2+y^2}$ - это рэлеевская случайная величина, плотность распределения которой:
$\frac{r}{\sigma^2}\exp(-\frac{r^2}{2\sigma^2})$;
2. полярный угол $\varphi$ - случайная величина, равномерно распределенная случайная величина с плотностью распределения $\frac{1}{2\pi}$;
3. поскольку по условию $\sigma^2 = 1$, произведение данных плотностей дает
$\frac{r}{2\pi}\exp(-\frac{r^2}{2})$

Помимо этого известно, что квадрат радиус вектора распределен экспоненциально, но это для данной задачи, похоже, не нужно.

Теперь полученное выражение нужно сравнить с плотностью совместного распределения радиус-вектора и полярного угла. Я наверное ошибаюсь, приняв их совместное распределение эквивалентным совместному распределению исходных случайных величин $x$ и $y$.

Где именно ошибка?

[Otta]

Yulius в сообщении #952818 писал(а):

Помимо этого известно, что квадрат радиус вектора распределен экспоненциально, но это для данной задачи, похоже, не нужно.

Это не известно, это нужно показать. И если Вам удобнее делать это, переходя к нужному распределению от распределения Релея (которое тоже, ващет, спрашивается еще, почему и откуда), то пожалуйста. Но быстрее было бы находить нужное Вам непосредственно.

[Yulius]

Цитата:

Это не известно, это нужно показать. И если Вам удобнее делать это, переходя к нужному распределению от распределения Релея (которое тоже, ващет, спрашивается еще, почему и откуда), то пожалуйста. Но быстрее было бы находить нужное Вам непосредственно.

Это было доказано в пункте а), там я переходил от распределения хи-квадрат с двумя степенями свободы, которое эквивалентно экспоненциальному с параметром $\lambda=\frac{1}{2}$
То есть для доказательства пункта с) можно воспользоваться этим результатом? Я не представляю, как найти плотность совместного распределения квадрата радиус-вектора и полярного угла.

[Otta]

По определению. Стандартно. Сперва ищем функцию совместного распределения, потом все само получится.

[Yulius]

Otta в сообщении #952856 писал(а):

По определению. Стандартно. Сперва ищем функцию совместного распределения, потом все само получится.

В том и дело, что я не понимаю, как найти функцию совместного распределения без плотности