Конечные множества, ZF

[alex_dorin]

или так --
множество конечно, если не существует собственного подмножества этого множества, равномощного этому множеству.
Это все - одно и то же.

[Someone]

alex_dorin в сообщении #952036 писал(а):

или так --
множество конечно, если не существует собственного подмножества этого множества, равномощного этому множеству.
Это все - одно и то же.

Нет. Это называется "конечное по Дедекинду". В ZF могут существовать множества, которые конечны по Дедекинду, но не равномощны никакому натуральному числу. То есть, в таком множестве можно указать сколько угодно элементов, но нельзя указать бесконечную последовательность из попарно различных элементов. В ZFC так не бывает, но у неё есть нестандартные модели, в которых есть "бесконечные" натуральные числа.

[kp9r4d]

Всегда думал, что если что-то существует в $ZF$ то оно же существует и в $ZFC$, потому что это самое $C$ всего лишь "новое средство для доказательства".

[grizzly]

kp9r4d в сообщении #952301 писал(а):

Всегда думал, что если что-то существует в $ZF$ то оно же существует и в $ZFC$, потому что это самое $C$ всего лишь "новое средство для доказательства".

Ранее об этом уже рассказывали очень интересные подробности. Получается, что отсутствие этого $C$ не позволяет "замкнуть" некоторые доказательства в $ZF$, порождая при этом недоделанных чудовищ не хуже, чем сны разума.

(Оффтоп)

А что, про счётное объединение счётных множеств не слышали разве? Это, насколько я понимаю, примерно из той же серии. К слову можно вспомнить, что бывает не только аксиома выбора, но и попроще -- аксиома счётного выбора. А также и всякие хитрые, хоть и простые, вопросы, для которых первой слишком много, а второй -- слишком мало. Тогда умудряются вводить ещё и промежуточные условия между ними.

[alex_dorin]

Где можно прочитать про множества, которые конечны по Дедекинду, но не равномощны никакому натуральному числу ?

[Someone]

http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind-infinite_set

[alex_dorin]

Цитата :
arseniiv

Аксиома бесконечности из указанной вами книги имеет вид

$$\exists x\exists y\left( y\in x\wedge\forall z\left( z\in x\to \exists t \left( t\in x\wedge t\ne z\wedge\forall s\left( s\in z\to s\in t \right) \right) \right) \right).$$

Верно ли я понял, что Вы утверждаете, что во множестве x, существование которого постулируется в аксиоме бесконечности в форме ,
приведенной Мостовским, должно существовать несобственное подмножество, равномощное множеству x ?

С уважением
А. Дорин

[Deggial]

alex_dorin, предупреждение за систематическое неоформление цитат.

[arseniiv]

alex_dorin
Насколько я помню, год назад я сразу после недоцитированного вами куска привёл стратегию доказательства этого:

arseniiv в сообщении #871473 писал(а):

Видно, что эта аксиома $A_1$ постулирует существование множества, которое содержит какой-то элемент и вместе с каждым элементом содержит его собственное надмножество. Приведённая мной аксиома $A_2$ — просто более конкретизированный вариант $A_1$, она определяет единственный объект, в отличие от $A_1$. «Форма» у неё, однако, похожа настолько, что построить биекцию с собственным подмножеством можно так же, просто нужно сначала уметь определить минимальный по включению элемент $\mathsf Ia$ множества $a$, что ZF позволяет, и определить подмножество $x\mathsf Sa$ элементов, являющихся собственными надмножествами $x$, из множества $a$, что она тоже позволяет. После этого биекцией между $\omega$ и $\omega\setminus\{\mathsf I\omega\}$ будет функция, сопоставляющая $x$ значение $\mathsf I(x\mathsf S\omega)$.

Вы могли уже попытаться проделать его по описанию или указать ошибку, или при непонятках попросить пояснения.

-- Чт фев 19, 2015 06:31:15 --

alex_dorin в сообщении #979587 писал(а):

должно существовать несобственное подмножество, равномощное множеству x

Вероятно, вы хотели написать собственное? Несобственное-то всегда есть — само оно по определению.

[alex_dorin]

Нужна ли для этого доказательства аксиома выбора - для выбора минимального элемента по Вашему описанию ?

[alex_dorin]

Здравствуйте !
Предложение логики 1-го порядка
$ \exists a ( PINF(a) \land PINFIN(a) ) $
было доказано с применением аксиом :
экстенсиональности, пары, объединения, бесконечности, выбора в мультипликативной форме.
Для предложения логики 1-го порядка
$ \forall a ( PINF(a) \implies PINFIN(a) ) $
где :
$ PINF(a) $ - а - бесконечное множество, постулируемое аксиомой бесконечности в форме А. Мостовского
$ PINFIN(a) $ - а - бесконечное множество по Дедекинду
была найдена область конечной мощности для опровержения с применением аксиом тех же аксиом.
Эти результаты были получены на разработанном логическом прувере на пути к механической математике.
Верны ли эти результаты ? Попытаюсь получить эти доказательства "вручную".
С уважением
А. Дорин

[alex_dorin]

Добавление : в перечне аксиом я пропустил аксиому множества-степени , которая использовалась в обоих случаях.

[arseniiv]

alex_dorin в сообщении #980112 писал(а):

Нужна ли для этого доказательства аксиома выбора - для выбора минимального элемента по Вашему описанию ?

Не должна. Тут надо использовать вполне упорядоченность множеств, существование которых даёт аксиома бесконечности.

Вообще, проще было бы всё доказать с аксиомой в виде

arseniiv в сообщении #871127 писал(а):

$\exists \omega\left( \varnothing\in\omega\wedge\forall x\left( x\in\omega\to x\cup\{x\}\in\omega \right)\right)$

Не зря её и так переформулировали.