Суперпозиция волн

[greg2]

Помогите разобратся, в учебнике у Савельева написано:
две волны $A_1 \cos(\omega t + \delta_1)$, $A_2 \cos(\omega t +\delta_2)$, накладываясь друг на друга дают волну с результирующей амплитудой колебания $A^2 = A_1^2+A_2^2+2A_1 A_2 \cos(\omega_1 - \omega_2)$
Каким образом это получают?

[arseniiv]

Прямо: сложите их и представьте в виде $A'\cos(\omega t+\delta')$.

-- Ср дек 24, 2014 23:52:27 --

И это у вас, кстати, не волны — иксов-то нет. Просто колебания.

[greg2]

А почему можно предполагать, что частота будет та же у результирующего колебания? И как это сделать так, чтобы без этого предположения? Сколько ни пытался играться с формулами, даже записывая в экспоненциальном виде, ничего не получалось.

[profrotter]

Удобно представить в виде $A_{1,2}\cos(\omega t+\delta_{1,2})=\operatorname{Re}A_{1,2}e^{i\omega t}e^{i\delta_{1,2}}$ и в таком виде складывать. Множитель $e^{i\omega t}$ вынесли за скобки, а комплексное число, которое них останется представить в показательной форме. Кстати, получится не совсем то, что Вы написали.

[greg2]

profrotter в сообщении #951700 писал(а):

Удобно представить в виде $A_{1,2}\cos(\omega t+\delta_{1,2})=\operatorname{Re}A_{1,2}e^{i\omega t}e^{i\delta_{1,2}}$ и в таком виде складывать. Множитель $e^{i\omega t}$ вынесли за скобки, а комплексное число, которое них останется представить в показательной форме. Кстати, получится не совсем то, что Вы написали.

Каюсь, я опечтался. Там, конечно, в косинусе разница фаз

[arseniiv]

greg2 в сообщении #951699 писал(а):

А почему можно предполагать, что частота будет та же у результирующего колебания? И как это сделать так, чтобы без этого предположения?

Да, можно предположить, что и частота в результате не $\omega$, а какая-нибудь $\omega'$, только profrotter уже показал упрощение вычислений, с комплексными числами результат получится ну почти сам собой.