Эрлангенская программа

[pooh__]

Никак не могу найти где внятно и просто было написано, как определить евклидову плоскость, как проективную на которой выбрали абсолют.

[stef]

По-моему, это довольно непросто. В книге Кокстера "Действительная проективная плоскость" делается так:
1) Определяются параллельные прямые, как пересекающиеся на абсолюте
2) Выбирается произвольная эллиптическая инволюция $f$ на абсолюте, и определяются перпендикулярные прямые, как те, что пересекают абсолют по таким точкам $A$ и $B$, что $f(A)=B$.
3) Определяется окружность, как коника, у которой любые два сопряжённых диаметра перпендикулярны.
На этом этапе у нас есть критерий равенства двух отрезков, что исходят из одной точки, этого должно хватать.

[pooh__]

Ужас!

[Oleg Zubelevich]

Проективная плоскоссть с однородными координатами: $\mathbb{R}P^2=\{(x_1,x_2,x_3)\}$. Евклидова плоскость: $E=\{(x_1,x_2,1)\}$

[Evgenjy]

Oleg Zubelevich в сообщении #951574 писал(а):

Проективная плоскоссть с однородными координатами: $\mathbb{R}P^2=\{(x_1,x_2,x_3)\}$. Евклидова плоскость: $E=\{(x_1,x_2,1)\}$

Евклидова плоскость: $E=\{(x_1/x_3,x_2/x_3)\}$. Поскольку бесконечно удаленная прямая выпадает, то $x_3\ne 0$.

Можно и сразу ввести евклидовы координаты, выбрав любую прямую, как бесконечно удаленные и еще две, как оси $x$ и $y$.

[pooh__]

Oleg Zubelevich в сообщении #951574 писал(а):

Проективная плоскоссть с однородными координатами: $\mathbb{R}P^2=\{(x_1,x_2,x_3)\}$. Евклидова плоскость: $E=\{(x_1,x_2,1)\}$

Это то очевидно, а хочется получить $O_{2}$, как подгруппу $PGL$, что-то сохраняющую.
Например если взять в качестве абсолюта какую-то прямую в проективной плоскости, то получим афинную.

Впрочем вопрос уже потерял свою актуальность;3